響應面分析
響應面分析
在多因素數量處理試驗的分析中，可以分析試驗指標（因變數）與多個試驗因素（自變數）間的回歸關係，這種回歸可能是曲線或曲面的關係，因而稱為響應面分析。例如農作物產量與N、P、K的施肥量有關，可以通過回歸分析建立產量與施肥要素間的回歸關係，從而求得最佳施肥配方。
響應面分析
在回歸分析中，觀察值y可以表述為：
其中 是自變數 的函數，是誤差項。
在響應面分析中，首先要得到回歸方程，然後通過對自變數 的合理取值，求得使 最優的值，這就是響應面分析的目的。
[例13.15] 有一個大麥氮磷肥配比試驗，施氮肥量為每畝尿素0，3，6，9，12，15，18kg 7個水平，施磷肥量為每畝過磷酸鈣0，7，14，21，28，35，42kg 7個水平，共49個處理組合，試驗結果列於表13.66，試作產量對於氮、磷施肥量的響應面分析。
表13.66 大麥氮磷肥配比
| 磷肥\氮肥 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | |
| 86.9 | 162.5 | 216.4 | 274.7 | 274.3 | 301.4 | 270.3 | |
| 7 | 110.4 | 204.4 | 276.7 | 342.8 | 343.4 | 368.4 | 335.1 |
| 14 | 134.3 | 238.9 | 295.9 | 363.3 | 361.7 | 345.4 | 351.5 |
| 21 | 162.5 | 275.1 | 325.3 | 336.3 | 381.0 | 362.4 | 382.2 |
| 28 | 158.2 | 237.9 | 320.5 | 353.7 | 369.5 | 388.2 | 355.3 |
| 35 | 144.3 | 204.5 | 286.9 | 322.5 | 345.9 | 344.6 | 353.5 |
| 42 | 88.7 | 192.5 | 219.9 | 278.0 | 319.1 | 290.5 | 281.2 |
對於表13.66的數據可以採用二元二次多項式擬合，那麼產量可表示為：
其中Ni、Pj、ij分別表示N、P施用量和誤差，按此模型的方差分析見表13.67。結果表明b2和b3這兩個偏回歸係數不顯著，應該將模型縮減，逐步去掉不顯著的回歸係數，得到
的模型為：。使用該模型分析的結果為表13.68，從
中可以看出b1，b4，b5是顯著的，b2達到顯著，該模型的回歸變異佔總變異的98%，因此可以較好地說明施用N、P對產量的影響。對此資料作多項式回歸分析的方法可參見第11章和附錄的SAS程序LT13-15.sas。
表13.67 二元二次多項式回歸分析的方差分析(全模型)
| 變異來源 | DF | SS | MS | F | |
| 回 歸 | 5 | 332061.25 | 66412.25 | 352.08 | F0.05(5,43)=2.44; F0.01(5,43)=3.49 |
| b1 | 1 | 219217.93 | 219217.93 | 1162.16 | F0.05(1,43)=4.07; F0.01(1,43)=7.27 |
| b2 | 1 | 754.29 | 754.29 | 4.00 | |
| b3 | 1 | 69.31 | 69.31 | 0.37 | |
| b4 | 1 | 61688.63 | 61688.63 | 327.04 | |
| b5 | 1 | 50331.10 | 50331.10 | 266.83 | |
| 誤 差 | 43 | 8111.07 | 188.63 | ||
| 總 變 異 | 48 | 340172.32 |
表13.68 二元二次多項式回歸的方差分析(縮減模型)
| 變異來源 | DF | SS | MS | F | |
| 回歸平方和 | 4 | 331991.95 | 82997.99 | 446.42 | F0.05(5,44)=2.58; F0.01(5,44)=3.78 |
| b1 | 1 | 219217.93 | 219217.93 | 1179.11 | F0.05(1,44)=4.06; F0.01(1,44)=7.24 |
| b2 | 1 | 754.29 | 754.29 | 4.06 | |
| b4 | 1 | 61688.63 | 61688.63 | 331.81 | |
| b5 | 1 | 50331.10 | 50331.10 | 270.72 | |
| 誤 差 | 44 | 8180.37 | 185.92 | ||
| 總 變 異 | 48 | 340172.32 |
表13.69 二元二次多項式回歸的回歸係數及其顯著性測驗(縮減模型)
| 參數 | 回歸係數估計值 | 標準誤 | t |
| b | 76.70 | 6.06 | 12.66 |
| b1 | 31.63 | 1.17 | 27.02 |
| b2 | 8.21 | 0.50 | 16.37 |
| b4 | -1.14 | 0.06 | -18.22 |
| b5 | -0.19 | 0.01 | -16.45 |
由表13.69，可以列出產量對N、P施用量的回歸方程為：
由回歸方程，可以作出產量對N、P施用量的響應曲面圖，如圖13.7。
分別對回歸方程求對N和P的偏導數，並令偏導數等於0，可以求得極值：
，N=13.87(kg)
，P=21.61(kg)
因而由回歸方程估計得尿素施用量為13.87kg，過磷酸鈣施用量為21.61kg時產量最高。
響應面分析中通過回歸方程進行預測時一般不能超過自變數的取值範圍，例如氮肥的取值範圍為0至18kg/畝，而磷肥的取值範圍為0至42kg/畝。推論合理的處理組合時，也應該這樣。