線性微分方程組

線性微分方程組是具有完整構造性質和廣泛應用的一類常微分方程組，如果方程組

的左端各函數包含的各未知函數及其各階導數都是一次的，則稱方程組(1)為線性微分方程組。如果線性微分方程組中各未知函數的導數均為一階的，則稱為一階線性微分方程組。其一般形式可寫為

為簡便計，(2)可寫為向量形式

式中

方程組(2)或(3)亦可稱為n階線性微分方程組(注意方程的階與方程組的階的定義)，在(2)及(3)中，若，則稱為齊次線性微分方程組；若相應的，則稱為非齊次線性微分方程組。

注意點：一般地，線性微分方程組均可化為一階線性微分方程組的典則形式。

因為常微分方程的所有數值演演算法都是以一階微分方程組為求解對象的，而任何階的常微分方程都可轉化為一階微分方程組的形式，故需要學習一階微分方程組的解法。可使用求解代數方程組的高斯消元法求解一階微分方程組。

高斯消元法是求解線性方程組直接法中最常用和最有效的方法之一，其基本思想就是逐次消去一個未知數，使方程變換為一個等價方程組，然後求解該等價方程組，通過回代得到的解，再求解原方程的解。下面以例題介紹一階線性微分方程組的解法。

例題1解一階微分方程組。

解：該一階線性微分方程組含有自變數t，兩個因變數 和，不能直接分離變數。故使用高斯消元法求解該方程組。從第一個方程解出y得

對t求導得

代入第二個式子得

即消元得到不含因變數 的二階線性微分方程

使用求解二階線性微分方程的方法求解二階線性微分方程，解出後代入式，可解出y。

常係數線性微分方程組的求法：

(1)從方程組中消去一些未知函數及其各階導數，得到只含有一個未知函數的高階常係數線性微分方程。

(2)解此高階微分方程，求出滿足該方程的未知函數。

(3)把已求得的函數代入原方程組，一般來說。不必經過積分就可求出其餘的未知函數。

例題2解方程組

解：用消元法求解該方程組，消去較為簡便。用乘第一個式子與第二個式子相加，得

求解上式的特徵方程，得到

解得

把上式代入第一個式子即求出