康托爾集

格奧爾格·康托爾引入的數學集合

在數學中,康托爾集,由德國數學家格奧爾格·康托爾在1883年引入(但由亨利·約翰·斯蒂芬·史密斯在1875年發現),是位於一條線段上的一些點的集合,具有許多顯著和深刻的性質。

引入


通過考慮這個集合,康托爾和其他數學家奠定了現代點集拓撲學的基礎。雖然康托爾自己用一種一般、抽象的方法定義了這個集合,但是最常見的構造是康托爾三分點集,由去掉一條線段的中間三分之一得出。康托爾自己只附帶介紹了三分點集的構造,作為一個更加一般的想法——一個無處稠密的完備集的例子。
實際上斯梅爾的馬蹄映射也會形成康托爾集。

康托三分集


取一條長度為1的直線段,將它三等分,去掉中間一段,留剩下兩段,再將剩下的兩段再分別三等分,各去掉中間一段,剩下更短的四段,……,將這樣的操作一直繼續下去,直至無窮,由於在不斷分割捨棄過程中,所形成的線段數目越來越多,長度越來越小,在極限的情況下,得到一個離散的點集,稱為康托爾點集,記為P。稱為康托爾點集的極限圖形長度趨於0,線段數目趨於無窮,實際上相當於一個點集。操作n次后
邊長
邊數
根據公式
所以康托爾點集分數維是。

性質特點


康托三分集中有無窮多個點,所有的點處於非均勻分佈狀態。此點集具有自相似性,其局部與整體是相似的,所以是一個分形系統。
康托三分集具有
(1)自相似性;
(2)精細結構;
(3)無窮操作或迭代過程;
(4)傳統幾何學陷入危機。用傳統的幾何學術語難以描述,它既不滿足某些簡單條件如點的軌跡,也不是任何簡單方程的解集。其局部也同樣難於描述。因為每一點附近都有大量被各種不同間隔分開的其它點存在。
(5)長度為零;
(6)簡單與複雜的統一。
康托爾集P具有三條性質:
1、P是完備集。
2、P沒有內點。
3、P的基數為c。
康托爾集是一個基數為c的疏朗完備集。