高斯核函數
高斯核函數
所謂徑向基函數(Radial Basis Function 簡稱 RBF)，就是某種沿徑向對稱的標量函數。通常定義為空間中任一點x到某一中心xc之間歐氏距離的單調函數，可記作k(||x-xc||)，其作用往往是局部的，即當x遠離xc時函數取值很小。最常用的徑向基函數是高斯核函數，形式為k(||x-xc||)=exp-||x-xc||^2/(2*σ^2)其中xc為核函數中心，σ為函數的寬度參數，控制了函數的徑向作用範圍。
(雙數運算符∥...∥表示Norm運算，即取向量的‘度量’.e.g二維下常為距離函數)
在計算機視覺中，有時也簡稱為高斯函數。高斯函數具有五個重要的性質，這些性質使得它在早期圖像處理中特別有用．這些性質表明，高斯平滑濾波器無論在空間域還是在頻率域都是十分有效的低通濾波器，且在實際圖像處理中得到了工程人員的有效使用．高斯函數具有五個十分重要的性質，它們是：
（1）二維高斯函數具有旋轉對稱性，即濾波器在各個方向上的平滑程度是相同的．一般來說，一幅圖像的邊緣方向是事先不知道的，因此，在濾波前是無法確定一個方向上比另一方向上需要更多的平滑．旋轉對稱性意味著高斯平滑濾波器在後續邊緣檢測中不會偏向任一方向．
（2）高斯函數是單值函數．這表明，高斯濾波器用像素鄰域的加權均值來代替該點的像素值，而每一鄰域像素點權值是隨該點與中心點的距離單調增減的．這一性質是很重要的，因為邊緣是一種圖像局部特徵，如果平滑運算對離運算元中心很遠的像素點仍然有很大作用，則平滑運算會使圖像失真．
（3）高斯函數的傅立葉變換頻譜是單瓣的．正如下面所示，這一性質是高斯函數傅立葉變換等於高斯函數本身這一事實的直接推論．圖像常被不希望的高頻信號所污染(雜訊和細紋理)．而所希望的圖像特徵（如邊緣），既含有低頻分量，又含有高頻分量．高斯函數傅里葉變換的單瓣意味著平滑圖像不會被不需要的高頻信號所污染，同時保留了大部分所需信號．
（4）高斯濾波器寬度(決定著平滑程度)是由參數σ表徵的，而且σ和平滑程度的關係是非常簡單的．σ越大，高斯濾波器的頻帶就越寬，平滑程度就越好．通過調節平滑程度參數σ，可在圖像特徵過分模糊(過平滑)與平滑圖像中由於雜訊和細紋理所引起的過多的不希望突變數(欠平滑)之間取得折中．
（5）由於高斯函數的可分離性，大高斯濾波器可以得以有效地實現．二維高斯函數卷積可以分兩步來進行，首先將圖像與一維高斯函數進行卷積，然後將卷積結果與方向垂直的相同一維高斯函數卷積．因此，二維高斯濾波的計算量隨濾波模板寬度成線性增長而不是成平方增長．
