集合論悖論
集合論悖論
1902年，英國數學家羅素提出了這樣一個理論：以M表示是其自身成員的集合的集合，N表示不是其自身成員的集合的集合。然後問N是否為它自身的成員？如果N是它自身的成員，則N屬於M而不屬於N，也就是說N不是它自身的成員；另一方面，如果N不是它自身的成員，則N屬於N而不屬於M，也就是說N是它自身的成員。無論出現哪一種情況都將導出矛盾的結論，這就是著名的羅素悖論。
1919年羅素給出了上述悖論的通俗形式，即“理髮師悖論”：一天，薩維爾村理髮師掛出一塊招牌：“村裡所有不自己理髮的男人都由我給他們理髮，我也只給這些人理髮。”於是有人問他：“您的頭髮由誰理呢?”理髮師頓時啞口無言。
因為，如果他給自己理髮，那麼他就屬於自己給自己理髮的那類人。但是，招牌上說明他不給這類人理髮，因此他不能自己理。如果由另外一個人給他理髮，他就是不給自己理髮的人，而招牌上明明說他要給所有不自己理髮的男人理髮，因此，他應該自己理。由此可見，不管怎樣的推論，理髮師所說的話總是自相矛盾的。
悖論還有很多，這裡有這樣一個有趣的悖論：有個虔誠的教徒，他在演說中口口聲聲說上帝是無所不能的，什麼事都做得到。一位過路人問了一句話：“上帝能創造一塊他自己也舉不起來的石頭嗎？”下面我們來證明上帝不是萬能的。（用反證法證明）
證明：假設上帝是萬能的，那麼上帝能造出一塊他自己都舉不起來的石頭，否則上帝就不是萬能的；但是上帝又舉不起這塊石頭，因此上帝不是萬能的，這與假設矛盾；所以原假設不成立，即上帝不是萬能的。
比如有這樣一個悖論：“我正在說的這句話是謊話”公元前四世紀的希臘數學家歐幾里德提出的這個悖論，至今還在困擾著數學家和邏輯學家。這就是著名的說慌者悖論。在中國古代《墨經》中，也有一句十分相似的話：“以言為盡悖，悖，說在其言。”意思是：以為所有的話都是錯的，這是錯的，因為這本身就是一句話。
類似的悖論還有很多，這些悖論不斷的影響著數學的發展，科學家們為了消除悖論，做了大量的工作，將集合論進行公理化，形成了今天常用的策梅洛—弗蘭克爾公理系統。