整數

我們以0為界限，將整數分為三大類：

1. 正整數，即大於0的整數如，1，2，3······直到。

2. 零，既不是正整數，也不是負整數，它是介於正整數和負整數的數。

3. 負整數，即小於0的整數如，-1，-2，-3······直到。（n為正整數）

註：零和正整數統稱自然數。

整數也可分為奇數和偶數兩類。

正整數

它是從古代以來人類計數的工具。可以說，從“1頭牛，2頭牛”或是“5個人，6個人”抽象化成正整數的過程是相當自然的。

零

零不僅表示“沒有”（“無”），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數並進行運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。

負整數

中國最早引進了負數。《九章算術。方程》中論述的“正負數”，就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程，如果a、b是自然數，則所給方程未必有自然數解。為了使它恆有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。

整數中，能夠被2整除的數，叫做偶數。不能被2整除的數則叫做奇數。即當n是整數時，偶數可表示為2n(n為整數)；奇數則可表示為2n+1(或2n-1)。

偶數包括正偶數（亦稱雙數）、負偶數和0。所有整數不是奇數，就是偶數。

在十進位里，我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數：個位為1,3,5,7,9的數為奇數；個位為0,2,4,6,8的數為偶數。

下表給出整數加法和乘法的基本性質。（即對任何整數a，b和c成立）

1是任何數的約數，即對於任何整數，總有1| a。

0是任何非零數的倍數， ,為整數，則a |0。

1. 若一個數的末位是單偶數，則這個數能被2整除。

2. 若一個數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。

3. 若一個數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。

4. 若一個數的末位是0或5，則這個數能被5整除。

5. 若一個數能被2和3整除，則這個數能被6整除。

6. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下： ，所以133是7 的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下： ， ，所以6139是7的倍數，余類推。

7. 若一個數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。

8. 若一個數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。

9. 若一個數的末位是0，則這個數能被10整除。

10. 若一個數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是：倍數不是2而是1。

11. 若一個數能被3和4整除，則這個數能被12整除。

12. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，則重複「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。

13. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，同樣重複之前的過程，直到能清楚判斷為止。

14. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，同樣重複之前的計算思路，直到能清楚判斷為止。

15. 若一個數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。

16. 若一個數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。

17. 若一個數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除

1. 奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數；

2. 奇數的平方都可以表示成 的形式，偶數的平方可以表示為或 的形式；

3. 若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；一個整數的平方根若是整數，則兩者具有相同的奇偶性。

為什麼用表示整數集呢？這個涉及到一個德國女數學家對環理論的貢獻，她叫諾特。

1920年，她已引入“左模”，“右模”的概念。1921年寫出的《整環的理想理論》是交換代數發展的里程碑。其中，諾特在引入整數環概念的時候（整數集本身也是一個數環），她是德國人，德語中的整數叫做Zahlen，於是當時她將整數環記作Z，從那時候起整數集就用表示了。