射影對應
射影對應
射影對應是射影幾何中最重要的一種對應，通常指射影空間（平面、直線）之間保持共線性和共線四點的交比不變的點的一一對應。
當兩個對應的射影空間（平面、直線）重合時，這種集合到自身的射影對應，通常稱為射影空間（平面、直線）的射影變換。在兩個射影空間（平面、直線）都建立了射影坐標系后，它們之間的射影對應可以用對應點坐標之間的關係表出。
射影對應亦稱射影映射(projective mapping)、直射映射(collineation mapping)。
射影空間 到射影空間 的映射F稱為射影映射：
(1)如果子空間 ，則；
(2)對於每個子空間，存在，使得；
(3) ,當且僅當。
設l和l’是兩條射影直線，f是從l上的點集到l’上的1-1映射，保持l上的任何四點的調和共軛性不變（即：若l上的四點A，B，C和D滿足交比，則和滿足），則稱f為從1到I'的一維射影映射(onedimensional projective mapping)。
一維射影映射保持任何四點的交比不變，且其逆映射也是一維射影映射。
兩個一維射影映射的合成仍是一維射影映射。
一維射影映射由三對對應點唯一決定（一維射影映射的基本定理），即: 若 和是l上的三個不同點， 和是上的三個不同點，則有唯一的射影映射f，使。
一條射影直線到自身的射影映射稱為一個一維射影變換。若一個一維射影變換有三個不同的不變點，則該一維射影變換是恆等變換。設l上的點P的射影坐標為 ，點的射影坐標為，則f可以由下列非奇異線性變換來表示：
其中一切為常數，且,係數行列式。
設π和π'是兩個射影平面，f是從π上的點集到上的點集的1-1映射，保持點的共線性不變（即: π 上的共線點的象是上的共線點），則稱f為從π到的二維射影映射(two-dimensional projective mapping)。
二維射影映射保持共線四點的交比不變，且其逆映射也是二維射影映射。
兩個二維射影映射的合成仍是二維射影映射。
二維射影映射由四對一般位置的對應點唯一決定（二維射影映射的基本定理），即:
若和是π上的四個不同點，其中任何三點不共線， 和 是上的四個不同點，其中任何三點也不共線，則有唯一的射影映射f，使。
一個射影平面到自身的射影映射稱為一個二維射影變換。若一個二維射影變換有四個不同的不變點，其中任何三個不共線，則該二維射影變換是恆等變換。
設π上的點P 的射影坐標為()，點的射影坐標為( )，則f可以由下列非奇異線性變換來表示：
其中一切為常數，且,係數行列式。
從π到的二維射影映射f誘導出從π上的直線集到π'上的直線集的1-1映射，因為π上的任意直線l上的點在f下的象必在上的某直線l'上，從而產生了映射。
設l的直線坐標為，I'的直線坐標為，則f'也可以由非奇異線性變換來表示：
其中。是 在 中的代數餘子式，係數行列式。
設K 和K'是兩個射影空間，f是從K中的點集到K'中的點集的1-1映射，保持點的共面性不變（即: K 中的共面點的像是K'中的共面點），則稱f為從K到的三維射影映射(three-dimensional project ive mapping)。
三維射影映射保持點的共線性和K中的任何共線四點的交比不變，且其逆映射也是三維射影映射。
兩個三維射影映射的合成仍是三維射影映射。
三維射影映射由五對一般位置的對應點唯一決定（三維射影映射的基本定理），即: 若 和是K中的五個不同點，其中任何四點不共面， 和則有唯一的射影映射f，使。
一個射影空間到自身的射影映射稱為一個三維射影變換。
若一個三維射影變換有五個不同的不變點，其中任何四個不共面，則該三維射影變換是恆等變換。
設k中的點p的射影坐標為( )點的射影坐標為( )，則f可以由下列非奇異線性變換來表示:
其中一切 為常數，且,係數行列式。
從K到的三維射影映射f誘導出從K中的平面集到K'中的平面集的1-1映射。因為K中的任意平面α上的點在f下的象必在上的某平面上，從面產生了映射。設α的平面坐標為，α'的平面坐標為，則f'也可以由非奇異線性變換來表示：
其中，是在中的代數餘子式，係數行列式。
基本信息
- 外文名
- projective correspondence
- 適用範圍
- 數理科學