三階幻方

相傳，大禹治水時，洛水中出現了一個“神龜”背上有美妙的圖案，史稱“洛書”，用現在的數字翻譯出來，就是三級幻方。

2500年前，孔子在他研究《易經》的著作《系詞上傳》中記載了：“河出圖，洛出書，聖人則之。”最早將數字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運》，它認為：“天有六極五常，帝王順之則治，逆之則凶。九洛之事，治成德備，監照下土，天下戴之，此謂上皇。”明代數學家程大位在《演演算法統宗》中也曾發出“數何肇？其肇自圖、書乎？伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列聖得之以開物”的感嘆，大意是說，數起源於遠古時代黃河出現的河圖與洛水出現的洛書，伏羲依靠河圖畫出八卦，大禹按照洛書劃分九州，並制定治理天下的九類大法，聖人們根據它們演繹出各種治國安邦的良策，對人類社會與自然界的認識也得到步步深化。大禹從洛書中數的相互制約，均衡統一得到啟發而制定國家的法律體系，使得天下一統，歸於大治，這是借鑒思維的開端。這種活化思維的方式已成為科學靈感的來源之一。從洛書發端的幻方在數千年後的今天更加生機盎然，被稱為具有永恆魅力的數學問題。十三世紀，中國南宋數學家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統研究，歐洲十四世紀也開始了這方面的工作。著名數學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究，如今，幻方仍然是組合數學的研究課題之一，經過一代代數學家與數學愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質正逐步得到揭示。目前，它已在組合分析、實驗設計、圖論、數論、群、對策論、紡織、工藝美術、程序設計、人工智慧等領域得到廣泛應用。1977年，4階幻方還作為人類的特殊語言被美國旅行者1號、2號飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達人類的文明信息與美好祝願！

由1、2、3、……等連續自然數生成的幻方為 基本幻方，在此基礎上各數再加或減一個相同的數，可組成由零或負數組成的新幻方，新

如上圖基本幻方中各數減1生成的新幻方，幻和為12，如下圖示：

拆填方式

想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。這每對數的和再加上5都等於15，可確定中心格應填5，這四組數應分別填在橫、豎和對角線的位置上。先填四個角，若填兩對奇數，那麼因三個奇數的和才可能得奇數，四邊上的格里已不可再填奇數，不行。若四個角分別填一對偶數，一對奇數，也行不通。因此，判定四個角上必須填兩對偶數。對角線上的數填好后，其餘格里再填奇數就很容易了。

古代方式

南宋數學家楊輝概括的構造方法為：

“九子斜排。上下對易，

左右相更。四維突出。”

中國古代九宮格的填法口訣是：

九宮之義，法以靈龜，

二四為肩，六八為足，

左七右三，戴九履一，

五居中央。

也有把這兩者綜合起來說的：

九子斜排，上下對易，

左右相更，四維挺出，

戴九履一，左七右三，

二四為肩，六八為足

即：

或

奇階幻方通用構造法

口訣：

1 居上行正中央，

依次斜填切莫忘，

上出框界往下寫，

右出框時左邊放，

重複便在下格填，

出角重複一個樣。

解釋：

1)在第一行居中的方格內放1，依次向右上方填入2、3、4…；

2)如果這個數所要放的格已經超出了頂行那麼就把它放在底行，仍然要放在右一列；

3)如果這個數所要放的格已經超出了最右列那麼就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

4)如果右上方已有數字和出了對角線，則向下移一格繼續填寫。

5)也可將所填數在幻方中所對應的數填在幻方中對應的位置。

例如：1為第一行中間數，則將對應的9填在最後一行的中間。2以次類推。

按照這種方式，做鏡像或旋轉對稱，可得到實際相同的其他填法：

只要將1放於四個變格的正中，向幻方外側依次斜填其餘數字；若出邊，將數字調到另一側；若目標格已有數字或出角，回一步填寫數字，再繼續按一開始的相同方向依次斜填其餘數字。

用1~9填出的三階基本幻方的所有情況都是相互鏡像或旋轉的。

是本質相同的不同表現：

第一種：

第二種：

第三種：

第四種：

第五種：

第六種：

第七種：

第八種：

任意等差數列

任意等差數列都可以由1~9的每個數乘以X，再加Y，得到。

因此按照原先的從小到大的順序排列，幻方仍然成立。

例如要用6、9、12、15、18、21、24、27、30構成幻方：

把1-9構成的3階幻方的每個數乘以3，再加3：

幻和值=54

等差的三組等差

3個一組的數，組與組等差，每組數與數等差，這樣的數能構成3階幻方。

同樣按照基本幻方的大小排列他們的順序即可

例如以下3組9個數：

【2、4、6】、【13、15、17】、【24、26、28】構成幻方，

幻和值=45。

以下規律對所有三階幻方均成立：

幻和=3×中心數

證明：

通過中心數有4條線。將這4條線全部加起來，可以得到：

幻和×4=全體數的和+中心數×3

而我們知道三階幻方中，全體數的和=3×幻和（三行或三列）

因此有：

幻和×4=幻和×3+中心數×3

化簡得到：

幻和=3×中心數

過中心的線上的三個數，依次成等差數列。或者說，關於中心位置對稱的兩數，平均數是中心數。

證明：

過中心線的三個數之和為幻和。性質1已經說明，幻和=3×中心數。

因此中心數是這三個數的平均數。

從這之中去掉中心數不改變平均數。

因此中心數是關於中心位置對稱的兩數。

也就是一個數比中心數多多少，另一個數就比中心數少多少。即他們成等差數列

2倍角格的數=不相鄰的2個邊格數之和。2a=b+c

如：基本幻方中：2*8=9+7，2*4=1+7，2*6=3+9，2*2=1+3

證明：

過a有3條線。計算這三條線的和：

幻和×3=全體數的和+2×a-b-c

而

全體數的和=幻和×3

因此

2×a-b-c=0

2×a=b+c