本原元定理

在數學中，本原元定理深刻刻畫了什麼時候對於一個域擴張，E可以表示為 的形式，即E可以由單個元素生成。一個有限擴張有本原元，即存在α使得，當且僅當E和F之間只有有限個中間域。

如果F是有限域，由於是有限擴張，推得E也是有限域。但是由於有限域的乘法群是循環群，任取這個乘法群的一個生成元，E可以由這個生成元生成。所以在F是有限域的情況下，定理左右兩邊恆為真。

如果F是無限域，但是只有有限個中間域。先證明一個引理：假設並且E和F之間只有有限個中間域，那麼存在一個使得。引理的證明如下：當c取遍F的時候，對於每一個c可以做一個中間域。但是由假設，只有有限個中間域，因此必定存在 ,，使得。由於都在這個域里，推得也在這個域里。由於，推得β在這個域里，於是α也在這個域里，因此是的子集，是的子集，於是。引理證畢。

由於有限擴張總是有限生成的，推得（對於）。利用歸納法以及引理可以得出，如果之間只有有限個中間域，那麼E可以由單個元素生成。

而如果，假設是α在F上的極小多項式，K是任意一個中間域，是α在K上的極小多項式。顯然整除f(x)，由於域上的多項式環是唯一分解環，f(x)只有有限個因子。而對於每一個整除f(x)，如果寫作 ，並令。顯然是K的一個子域，因此在上依然是不可約的。而同時，因此可以得到，這樣立即推，於是任何一個中間域K對應唯一的一個f(x)的因子。於是中間域個數小於因子的個數。但因子個數是有限的，因此中間域個數有限。

證畢。

由於有限可分擴張只有有限個中間域，由本原元定理立刻推出這個擴張有單個生成元。

模19下7的階為3（,,,....）

模n下a的階，a就是n的本原元，如3是19的本原元，本原元並不唯一（19本原元還有2，3，10，13，14，15），不是所有的整數都有本原元，應是這樣的形式：2,3,,(p為奇素數) 。