加法結合律

數學中的運算方法

加法結合律是指三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加，和不變。結合律是二元運算可以有的一個性質，意指在一個包含有二個以上的可結合運運算元的表示式，只要運算元的位置沒有改變，其運算的順序就不會對運算出來的值有影響。

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1定義 2證明

定義

加法結合律即三個數相加，先把前兩個數相加，或者先把后兩個數相加。和不變，這叫做加法結合律。

字母表示：a+b+c=a+(b+c)

數字錶示：18+5+15=18+(5+15)=38

證明

下面從皮亞諾公理體系出發，使用數學歸納法，給出加法結合律的一個嚴格證明。

其中，S(k)表示k的後繼序數。簡單來說S(k)=k+1。

要證明(m+n)+k=m+(n+k)，對k進行歸納。

1.k=0，由加法定義得(m+n)+0=m+n和m+(n+0)=m+n，因此結合律對k=0成立；

2.假設結論對k成立，即(m+n)+k=m+(n+k)，下證結論對S(k)成立，

由加法定義可得:(m+n)+S(k)=S((m+n)+k)；

以及m+(n+S(k))=m+S(n+k)=S(m+(n+k))；

又由歸納假設(m+n)+k=m+(n+k)；

因此S((m+n)+k)=S(m+(n+k))；

故(m+n)+S(k)=m+(n+S(k))；

故結論對S(k)亦成立，由歸納公理，結論得證。

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