模糊關係方程
模糊關係方程
模糊關係方程(fuzzy relation equation;FRE)是含有未知模糊關係的一類等式。設X與Y為有限論域，A是X上的模糊子集，R為X到Y的模糊關係，則可通過複合運算得到Y上的模糊子集B=A°R，若已知B與R，欲求A；或已知B與A，求R，使滿足A°R=B，則稱該等式為模糊關係方程。所求出的A或R稱為該模糊關係方程的解。一般地，模糊關係方程的解不是惟一的，桑切斯(E.Sanchez)首先研究了模糊關係方程，指出模糊關係方程存在最大解和極小解，但一般不存在最小解。
模糊關係方程在模糊數學理論及其應用中佔有十分重要的地位。法國的桑切斯在這方面做了開創性的研究。他最早提出模糊關係方程並且給出了方程的最大解。繼之日本的政元對有限集上模糊關係方程的求解給出具體解法，我國的羅承忠、徐文立、曹志強、李必祥等給出了方程的簡化解法。
模糊關係方程有兩種類型。
給定論域，已知模糊關係
求模糊關係滿足方程：
已知模糊關係
求模糊關係，滿足方程：
在類型Ⅱ中，令，其隸屬函數：
稱為的轉置關係，同樣規定，則T滿足方程：
因而，兩種類型的方程可以互相轉化。
滿足模糊關係方程的稱為方程的解，如果方程有解，則稱方程為 相容的，否則稱方程為 不相容的。如果方程的某個解，對其他任何一個解，恆有，則稱為方程的最大解。
桑切斯最一般地證明了，對任意模糊關係方程，若有解則必有最大解。對有限論域上的模糊關係方程，政元給出了具體解法，稱為政元方法。羅承忠等對政元方程進行了簡化。參見模糊關係。