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數學中的格

“格”一種特殊的偏序集。在許多數學對象中,所考慮的元素之間具有某種順序。

基本介紹


例如,一組實數間的大小順序;一個集合的諸子集(或某些子集)間按(被包含)所成的順序;一組命題間按蘊涵所成的順序;等等。這種順序一般不是全序,即不是任意二元素間都能排列順序,而是在部分元素間的一種順序即偏序(半序)。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。
格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數學分支中都有應用。例如,在代數學中,對於一個群G與其子群格(G)之間關 系的研究。在數理邏輯中,關於不可解度的研究。
格的定義:設是偏序集,若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界,則稱是 格(lattice),為了方便,這樣的格成為 偏序格。
格 h格 設是一個偏序集,如果對於",L的子集在L中都有一個最大下界和一個最小上界(記為),則稱是一個 偏序格.
子集在L中有上確界和下確界的偏序集,就是格。
h代數格 在L定義二元運算 *和 ·,滿足:對",有
(1) 交換律
(2) 結合律
(3) 吸收律
則稱是 代數格.
用代數的語言,格就是在非空集合上定義了兩個滿足結合律、交換律和吸收律的運算。
h對偶式 由1,0,和可以代表格中的任意元素的變數通過+,×運算連結起來的式子,就是格中的表達式,記作f。將f中的0換成1,1換成0,+換成×,×換成+所得的表達式,就是表達式f的對偶式記作f。h
h對偶原理 若f為真,則f為真。