二次域

假定適合一個有理整係數的既約二次方程。則就稱為一個二次域。實際上，全體二次域即，其中 D 過 所有不等於 1 且無平方因子的有理整數。

當 時，稱為實二次域 (real quadratic field) ;

當時， 稱為虛二次域 (imaginary quaadratic field) ;

當時，命 及 ；

當 時，命 及。則為 的判別式，而1、為 的一組整 基。1、亦為的一組整基。

1801年，C.F.高斯發表了他在20歲時所寫的數論著作《算術研究》，展現了他的一個傑出的思想，即把有理數域和有理整數環上的許多初等數論問題，放到更大的域和環──二次域和它的(代數)整數環上來研究。他在這些方面的工作，是研究二次域的開端，也是代數數論的一個源頭。

二次域有許多研究課題，其中最著名的是高斯關於類數問題的兩個猜想:①只有有限多個類數為1的虛二次域;②存在著無限多個類數為1的實二次域。關於第一個猜想,1934年，H.海布雷恩證明了當時,。1935年C.L.西格爾進一步證明了。A.貝克於1966年和H.M.斯塔爾克於1967年各自獨立地證明了類數為1的虛二次域只有9個：。至於第二個猜想，則至今仍未解決。

參考書目

D. B. Zagier,Zetaƒunktionen und Quadratische Krper,Springer-Verlag, Berlin, 1981.