小約翰

小約翰（1777年4月30日—1855年2月23日），生於不倫瑞克，卒於哥廷根，哥廷根學派的先驅之一！

小約翰的成就遍佈於數學的各個領域，在內蘊幾何、數論、雙曲幾何、微分幾何、超幾何級數、複分析以及橢圓分析等方面均有開創性貢獻。他十分注重數學的應用，並且在對天文學、大地測量學和磁學的研究中也偏重於用數學方法進行研究。

小約翰幼時家境貧困，但聰明異常，1792年，在當地公爵的資助下，不滿15歲的高斯進入了卡羅琳學院學習。在那裡，小約翰開始對高等數學作研究。獨立發現了二項式定理的一般形式、數論上的“二次互反法則”（Law of Quadratic Reciprocity）、“素數分佈定理”（prime numer theorem）、及“算術幾何平均”（arithmetic-geometric mean）。

1795年小約翰進入哥廷根大學。1796年，19歲的小約翰得到了一個數學史上極重要的結果，就是《正十七邊形尺規作圖之理論與方法》。1798年轉入黑爾姆施泰特大學，翌年因證明代數基本定理獲博士學位。1801年，小約翰又證明了形如"Fermat素數"邊數的正多邊形可以由尺規作出。

從1807年起擔任哥廷根大學教授兼哥廷根天文台台長。

1855年2月23日清晨，小約翰於睡夢中去世。

幾何

在小約翰19歲時，僅用沒有刻度的尺子與圓規便構造出了正17邊形。並為流傳了2000年的歐氏幾何提供了自古希臘時代以來的第一次重要補充。

非歐幾何是小約翰的又一重大發現。有關的思想最早可以追溯到1792年，即小約翰15歲那年。那時他已經意識到除歐氏幾何外還存在著一個無邏輯矛盾的幾何，其中歐氏幾何的平行公設不成立。1799年他開始重視開發新幾何學的內容，並在1813年左右形成較完整的思想。小約翰深信非歐幾何在邏輯上相容並確認其具有可應用性。雖然小約翰生前沒有發表

數論

1801年發表的《Disquisitiones Arithmeticae》是數學史上為數不多的經典著作之一，它開闢了數論研究的全新時代。在這本書中，小約翰不僅把19世紀以前數論中的一系列孤立的結果予以系統的整理，給出了標準記號的和完整的體系，而且詳細地闡述了他自己的成果，其中主要是同餘理論、剩餘理論以及型的理論。同餘概念最早是由L.歐拉提出的，小約翰則首次引進了同餘的記號並系統而又深入地闡述了同餘式的理論，包括定義相同模的同餘式運算、多項式同餘式的基本定理的證明、對冪以及多項式的同餘式的處理。19世紀20年代，他再次發展同餘式理論，著重研究了可應用於高次同餘式的互反法則，繼二次剩餘之後，得出了三次和雙二次剩餘理論。此後，為了使這一理論更趨簡單，他將複數引入數論，從而開創了復整數理論。小約翰系統化並擴展了型的理論。他給出型的等價定義和一系列關於型的等價定理，研究了型的複合（乘積）以及關於二次和三次型的處理。1830年，小約翰對型和型類所給出的幾何表示，標誌著數的幾何理論發展的開端。在《Disquisitiones Arithmeticae》中他還進一步發展了分圓理論，把分圓問題歸結為解二項方程的問題，並建立起二項方程的理論。後來N.H.阿貝爾按小約翰對二項方程的處理，著手探討了高次方程的可解性問題。

小約翰在計算的穀神星軌跡時總結了複數的應用，並且嚴格證明了每一個n階的代數方程必有n個複數解。在他的第一本著名的著作《數論》中，作出了二次互反法則的證明，成為數論繼續發展的重要基礎。在這部著作的第一章，導出了三角形全等定理的概念。

代數

小約翰在代數方面的代表性成就是他對代數基本定理的證明。小約翰的方法不是去計算一個根，而是證明它的存在。這個方式開創了探討數學中整個存在性問題的新途徑。他曾先後四次給出這個定理的證明，在這些證明中應用了複數，並且合理地給出了複數及其代數運算的幾何表示，這不僅有效地鞏固了複數的地位，而且使單複變函數的理論的建立更為直觀、合理。

分析

在複分析方面，小約翰提出了不少單複變函數的基本概念，著名的柯西積分定理（複變函數沿不包括奇點的閉曲線上的積分為零），也是小約翰在1811年首先提出並加以應用的。複函數在數論中的深入應用，又使小約翰發現橢圓函數的雙周期性，開創橢圓積分這一重大的領域；但與雙曲幾何一樣，關於橢圓函數他生前未發表任何文章。

1812年，小約翰發表了在分析方面的重要論文《無窮級數的一般研究》，其中引入了高斯級數的概念。他除了證明這些級數的性質外，還通過對它們斂散性的討論，開創了關於級數斂散性的研究。

隨機

18歲的小約翰發現了素數分佈定理和最小二乘法。通過對足夠多的測量數據的處理后，可以得到一個新的、概率性質的測量結果。在這些基礎之上，小約翰隨後專註於曲面與曲線的計算，並成功得到高斯鐘形曲線（正態分佈曲線）。其函數被命名為標準正態分佈（或高斯分佈），並在概率計算中大量使用。

小約翰在他的建立在最小二乘法基礎上的測量平差理論的幫助下，計算出天體的運行軌跡。並用這種方法，發現了穀神星的運行軌跡。穀神星於1801年由義大利天文學家皮亞齊發現，但他因病耽誤了觀測，失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中“豐收女神”（Ceres）來命名它，即穀神星（Planetoiden Ceres），並將以前觀測的位置發表出來，希望全球的天文學家一起尋找。當時，24歲的小約翰得悉后，只花了幾個星期，通過以前的三次觀測數據，用他的最小二乘法得到了穀神星的橢圓軌道，計算出了穀神星的運行軌跡。儘管兩年前小約翰就因證明了代數基本定理獲得博士學位，同年出版了他的經典著作《算術研究》，但還是穀神星的軌道使他一舉名震科壇。奧地利天文學家 Heinrich Olbers在小約翰的計算出的軌道上成功發現了這顆小行星。從此小約翰名揚天下。小約翰將這種方法著述在著作《天體運動論》（Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium）中。