艾森斯坦因判別法

艾森斯坦判別法是說：給出下面的整係數多項式

如果存在素數，使得

不整除，但整除其他；

不整除，

那麼在有理數域上是不可約的。

給了多項式，試確定它能否分解為有理係數多項式之積。

試用艾森斯坦判別法。素數2和3都不適合，考慮素數。整除的係數和常數項，但不整除首項。而且不整除10。所以在有理數域不可約。

有時候不能直接用判別法，或者可以代入后再使用。

例如考慮。這多項式不能直接用判別法，因為沒有素數整除x的係數1。但把代入為，可立刻看出素數7整除x的係數和常數項，但不整除常數項。所以有時通過代入便可以用到判別法。

艾森斯坦判別法得出的一個著名結果如下：

對素數，以下多項式在有理數域不可約。

要使用艾森斯坦判別法，先作代換。新的常數項是，除首項是1外，其他項的係數是二項式係數，大於0，所以可以被除盡。

對多項式取模，也就是把它的係數映射到整數模P的環上。這樣它便化為為非零常數。因為在域上的多項式有唯一分解，在模上會分解為單項式。

如果是在有理數上可約的，那麼會有多項式,使得。從上可知和取模分別為和，滿足。因為和模的常數項為零，這表示和的常數項均可被整除，所以的常數項可以被整除，與f係數的假設矛盾。因此得證。

依據牛頓圖的理論在其進位數域，我們考慮一系列點的下凸集。

,其中是關於的最高次冪。對於一個艾森斯坦多項式，

對固而它的牛頓圖即點列的下凸集應當是一條從到的線段，其斜率為