冪等矩陣

冪等矩陣

冪等矩陣,是指若A為方陣,且A^2=A,則A稱為冪等矩陣。例如,某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實際上,由Jordan標準型易知,所有冪等矩陣都相似於對角元全為0或1的對角陣。

概述


冪等矩陣(idempotent matrix)定義:若A為方陣,且,則A稱為冪等矩陣。
A是n階方陣,若,存在可逆矩陣P、Q,使得:,則B為冪等矩陣;
等價命題1:若A是冪等矩陣,則與A相似的任意矩陣是冪等矩陣;
等價命題2:若A是冪等矩陣,則A的AH,AT,A*,,都是冪等矩陣;
等價命題3:若A是冪等矩陣,則對於任意可逆陣T,也為冪等矩陣;
等價命題4:若A是冪等矩陣,A的k次冪任是冪等矩陣
(由於數學符號編輯問題,更多等價命題及其證明見擴展閱讀1)
由於冪等矩陣所具有的良好性質及其對向量空間的劃分,冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用,同時也為空間的投影過程提供了一種工具。
符號說明如下:
AT為矩陣A的轉置矩陣;
AH矩陣A的共軛轉置矩陣;
A*為矩陣A的伴隨矩陣;

性質


冪等矩陣的主要性質:
1.冪等矩陣的特徵值只可能是0,1;
2.冪等矩陣可對角化;
3.冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩,即;
4.可逆的冪等矩陣為E;
5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣;
6.冪等矩陣A滿足:;
7.冪等矩陣A:的充要條件是;
8.A的核N(A)等於()的列空間,且。考慮冪等矩陣運算后仍為冪等矩陣的要求,可以給出冪等矩陣的運算:
1)設 A1,A2都是冪等矩陣,則() 為冪等矩陣的充分必要條件為:,
且有:;;
2)設 A1, A2都是冪等矩陣,則() 為冪等矩陣的充分必要條件為:
且有:;;
3)設 A1,A2都是冪等矩陣,若,則為冪等矩陣,
冪等矩陣的運算
冪等矩陣的運算
且有:;。