布爾邏輯

使用集合代數作為介紹布爾邏輯的一種方式。還使用文氏圖來展示各種布爾邏輯陳述所描述的集合聯繫。

設X是一個集合：

元素是一個集合的成員。表示為$\backslash in$。如果它不是這個集合的元素，表示為$\backslash notin$。

全集是集合X，有時表示為1。注意使用全集這個詞意味著"慮及的所有元素"，同"現有的所有元素"一樣不是必然的。

空集或null集合是沒有元素的集合，表示為$\backslash varnothing$，有時表示為0。

一元算符應用於一個單一的集合。有一個一元算符叫做邏輯非(NOT)。它的作用是採用補集。

二元算符應用於兩個集合。基本的二元算符是邏輯或(OR)和邏輯與(AND)。它們進行集合的並集和交集。還有其他衍生的二元算符，比如邏輯異或(XOR)(排他的或)。

子集表示為A$\backslash subseteq$B，意味這在集合A中所有元素都在集合B中。

真子集表示為A$\backslash subset$B，意味著在集合A中的所有元素都在集合B中，並且兩個集合不等同。

超集表示為A$\backslash supseteq$B，意味著在集合B中的所有元素都在集合A中。

真超集表示為A$\backslash supset$B，意味著在集合B中的所有元素都在集合A中，並且兩個集合不等同。

設圖像為集合A包含"全集"中所有偶數(二的倍數)，集合B包含"全集"中所有三的倍數。則兩個集合的交集(在集合AANDB中所有的元素)將是"全集"中所有六的倍數。

集合A的補集(所有不在集合A中的元素)是"全集"中所有的奇數。

儘管在任何布爾運算中都最多有兩個集合參與，從這個運算所形成的新集合可以接著與其他集合聯合起來實現另外的布爾運算。使用前面的例子，我們可以定義一個新集合C作為"全集"中所有五的倍數的集合。所以"集合AANDBANDC"將是"全集"中所有30的倍數。如果為了更方便，我們可以把集合AB當作集合A和B的交集，或者說"全集"中所有六的倍數的集合。那麼我們可以稱"集合ABANDC"是"全集"中所有30的倍數的集合。我們接著進一步的把這個結果叫做集合ABC。

儘管任何數目的邏輯AND(或任何數目的邏輯OR)可以被連接在一起而沒有歧義，AND和OR和NOT的組合可以導致歧義的情況。在這種情況情況下，可以使用圓括弧來分清運算的次序。永遠是最內的括弧內的運算先進行，隨後是外層的括弧以此類推，直到在所有的括弧內運算都完成。接著進行括弧外的運算。

為兩個主要的二元運算的符號定義為$\backslash land/\backslash cap$(邏輯與/交集)和$\backslash lor/\backslash cup$(邏輯或/並集)，把單一的一元運算的符號定義為$\backslash lnot$/~(邏輯非/補集)。我們還使用值0(邏輯假/空集)和1(邏輯真/全集)。下列性質適用於布爾代數和布爾邏輯二者：

$a\backslash lor(b\backslash lorc)=(a\backslash lorb)\backslash lorc$$a\backslash land(b\backslash landc)=(a\backslash landb)\backslash landc$結合律

$a\backslash lorb=b\backslash lora$$a\backslash landb=b\backslash landa$交換律

$a\backslash lor(a\backslash landb)=a$$a\backslash land(a\backslash lorb)=a$吸收律

$a\backslash lor(b\backslash landc)=(a\backslash lorb)\backslash land(a\backslash lorc)$$a\backslash land(b\backslash lorc)=(a\backslash landb)\backslash lor(a\backslash landc)$分配律

$a\backslash lor\backslash lnota=1$$a\backslash land\backslash lnota=0$互補律

$a\backslash lora=a$$a\backslash landa=a$等冪律

$a\backslash lor0=a$$a\backslash land1=a$有界律

$\backslash lnot0=1$$\backslash lnot1=0$0和1是互補的

$\backslash lnot(a\backslash lorb)=\backslash lnota\backslash land\backslash lnotb$$\backslash lnot(a\backslash landb)=\backslash lnota\backslash lor\backslash lnotb$deMorgan定律

$\backslash lnot\backslash lnota=a$卷繞律(involution

真值表

布爾邏輯只使用兩個值0和1，這兩個值的交集和並集可以使用真值表定義如下：

$\backslash cap$01

000

1．01

$\backslash cup$01

001

1．11

也可以建立涉及多個輸入和其他布爾運算的更複雜的真值表。

真值表應用在邏輯中，解釋0為假，1為真，$\backslash cap$為與，$\backslash cup$為或，而¬為非。

可以使用各種樣式的基本算符來表達布爾邏輯。AND(與)、OR(或)、NOT(非)是最直覺的。數學家、工程師和程序員經常使用+表示或，$\backslash cdot$表示與(因為在某些方面這些運算類似於在其他代數結構中的加法和乘法，並且這種記號使熟悉普通代數的人易於得到積之和範式)。非也表示為在要否定的表達式頂上的一個橫線。

另一種記號使用"交"表示與使用"並"表示或。但是這會導致混淆，因為術語"並"也經常用於合併集合的另一個布爾運算，它包括了與和或二者。

布爾術語的基本數學使用

在聯立方程的情況下，它們是用暗含的邏輯與連接的：

x+y=2

AND

x-y=2

同樣適用於聯立不等式：

x+y<2

AND

x-y<2

大於等於號($\backslash ge$)和小於等於號($\backslash le$)可以假定包含了一個邏輯或：

X<2

OR

X=2

加/減號($\backslash pm$)，在平方根的解的情況下，可以被看作是邏輯或：

WIDTH=3

OR

WIDTH=-3

在計算機中布爾邏輯定義若干布爾邏輯函數，有時候稱為操作符。每個函數根據一個或者更多的輸入，用一個邏輯演演算法來計算輸出值。該演演算法根據輸入所取真和假的組合來決定什麼時候輸出真（0真1假；1真0假。相對的）。每個邏輯函數類似於一個現實世界的邏輯運算，可以用來定義各種邏輯的情況。

1非（NOT)

函數：NOT僅是一個否定；輸出與輸入的相反。（NOT函數僅有一個輸入，故稱為一元函數或者一元操作符）。當輸入為假，輸出是真，反之亦然。NOT函數邏輯上表達一個條件的反面。

2與(AND)

函數：AND可以有任意多個輸入，但最少是兩個。僅當AND函數的第一個、第二個和第三個輸入等都是真，它的輸出才是真。

3或（OR)

函數：OR可以有任意多個輸入，但最少是兩個。OR函數無論何時只要一個輸入中出現了真，輸出就是真。

4異或（XOR)

函數：XOR是OR的變體。僅當一個輸入或者另一個輸入是真，但不是兩者都為真（既如果輸入是不同的），它的輸出才為真。