反射變換

定義1

1.平面上的反射變換

設l為平面上一直線，將平面上任一點P變換到關於l與它對稱的點P'的變換，叫做平面上關於直線l的反射變換；

設A為平面上一點，將平面上任一點P變換到關於點A與P對稱點p'的變換，叫做平面上關於點A的反射變換。

2.空間中的反射變換

設為空間中一平面，將空間任一點P變換到關於平面與P對稱的點P'的變換，稱做空間關於平面的反射變換。

設A為空間中一點，將空間任一點P變換到關於點A與P對稱的點P'的變換，叫做空間關於點A的反射變換。

定義2

我們通常稱集合A到自身的映射f是集合A上的 變換，即。若是一一映射，則稱是集合A上的一一變換。

設是平面上的定直線，S是平面上的變換，P、P'是一對對應點。如果線段PP'被直線垂直平分，那麼稱S為 反射變換(symmetric transformation)，簡記為，為反射軸。

有時，記點P到的距離為。

由此可知，反射變換由反射軸或一對對應點確定。

在反射變換S(l)下，點P變換為點P'，圖形F變換為圖形F'，這可表示為

或記為

性質1 反射變換下兩點之間距離不變，即對於任意兩點P、Q，，則1(圖3)。

性質2 反射變換下兩直線的夾角不變，即，則。

說明 性質1和性質2分別揭示了反射變換的保距性和保角性，並由此可以得到：任一圖形F，經反射變換后得到F'，則F與F'全等。

顯然，我們有

性質3 在反射變換下，反射軸是不動點的集合，垂直於反射軸的直線是不變直線。

性質4 設O為反射軸上一點,P、P’是一對對應點，則被所平分。

反射變換有時又稱為 軸對稱變換，如果一個圖形F在軸對稱變換下的對應圖形是，那麼稱是F的軸對稱圖形，它們是互為軸對稱圖形，又若，則稱圖形F為軸對稱變換下的自對稱圖形，如圖2(2) 。

反射變換可以組成集合，我們在這樣的集合中定義“乘法運算”，即運算“ ”：

設兩個反射變換，若一個點P(或一個圖形F)在反射變換下為點(或圖形)，而點(或圖形F')在反射變換下為點(或圖形)，則稱點P(或圖形F)在反射變換與的乘積變換下為點P''(或圖形F")，簡記為，而變換稱為與的乘積變換。