歐幾里德空間

約在公元前300年，古希臘數學家歐幾里德建立了角和空間中距離之間聯繫的法則，現稱為歐幾里德幾何。歐幾里德首先開發了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里德的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里德空間的抽象數學空間中。 

這些數學空間可以被擴展來應用於任何有限維度，而這種空間叫做 n 維歐幾里德空間（甚至簡稱 n維空間）或有限維實內積空間。

這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實內積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里德空間。 為了開發更高維的歐幾里德空間，空間的性質必須嚴密地表達並被擴展到任意維度。儘管這樣做的結果導致數學非常抽象，但卻捕獲了熟悉的歐幾里德空間的根本本質，即平面性。還另存在其他種類的空間，例如球面則非歐幾里德空間，相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里德空間。

有一種方法論把歐幾里德平面看作滿足可依據距離和角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關於在這個平面中固定點的旋轉，其中在平面上的所有點關於這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里德幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應被認為是等價的（全等）。（參見歐幾里德群）。 

歐幾里德空間的最後問題是它在技術上不是向量空間，而是向量空間作用於其上仿射空間。直覺上，區別在於對於原點應當位於這個空間的什麼地方沒有標準選擇，因為它可以到處移動。這種技術本文中很大程度上被忽略了。

歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡稱為歐氏空間(也可以稱為平直空間)，在數學中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對於距離、以及相關的概念長度和角度，轉換成任意數維的坐標系。這是有限維、實和內積空間的“標準”例子。 歐氏空間是一個特別的度量空間，例如緊性加以調查。內積空間是對歐氏空間的一般化。內積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。

歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。一個定義距離函數的數學動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導入機動性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質。

歐幾里德空間是4維或N維的理論無窮大的空間。

設V是實數域R上的線性空間（或稱為向量空間），若V上定義著正定對稱雙線性型g（g稱為內積），則V稱為（對於g的）內積空間或歐幾里德空間（有時僅當V是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。 具體來說，g是V上的二元實值函數，滿足如下關係：

（1）

（2）

（3）

（4），而且當且僅當時成立。

這裡x,y,z是V中任意向量，k是任意實數。

1. （經典歐幾里德空間E^n）在n維實向量空間R^n中定義內積，則R為歐幾里德空間。（事實上，任意一個n維歐幾里德空間V等距同構於E^n。）

2. 設V是[0,1]區間上連續實函數全體，則V是R上線性空間，對於如下內積是歐幾里德空間：(f,g)定義為fg在[0,1]區間上的積分值。

四維空間被稱為標準歐幾里德空間，可以拓展到n維；四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。通常所說時間是第四維即四維時空下的時間維度。四維空間的第四維指與x，y，z同一性質的空間維度。然而四維時空並不是標準歐幾里德空間，時間的本質是描述運動的快慢。

通過一維、二維、三維空間的演變，人們提出了關於四維空間的一些猜想。儘管這些猜想現在並不能證明是正確的，但科學理論有很多是有猜想開始的。現今科學理論一般是基於現象總結規律，而關於四維空間的現象沒有足夠準確清晰的認識，或者看到了這種現象卻並沒有想到是四維空間引起的。

亞歷山大里亞的歐幾里得（希臘文：Ευκλειδης ，約公元前330年—前275年），古希臘數學家，被稱為“幾何之父”。他活躍於托勒密一世（公元前323年－前283年）時期的亞歷山大里亞，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數學的基礎，提出五大公設，發展歐幾里得幾何，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關於透視、圓錐曲線、球面幾何學及數論的作品。

歐幾里得生於雅典，當時雅典就是古希臘文明的中心。濃郁的文化氣氛深深地感染了歐幾里得，當他還是個十幾歲的少年時，就迫不及待地想進入“柏拉圖學園”學習。