數學物理學

數學物理學是以研究物理問題為目標的數學理論和數學方法。它探討物理現象的數學模型，即尋求物理的數學描述，並對模型已確立的物理問題研究其數學解法，然後根據解答來詮釋和預見物理現象，或者根據物理事實來修正原有模型。

物理問題的研究一直與數學密切相關。作為近代物理學始點的牛頓力學中，質點和剛體的運動用常微分程來刻畫，求解這些方程就成為牛頓力學中的重要數學問題。這種研究一直持續到今天。例如，天體力學中的三體問題和各種經典的動力系統都是長期研究的對象。

在十八世紀中，牛頓力學的基礎開始由變分原理所刻畫，這又促進了變分法的發展，並且到後來，許多物理理論都以變分原理作為自己的基礎。

十八世紀以來，在連續介質力學、傳熱學和電磁場理論中，歸結出許多偏微分方程通稱數學物理方程(也包括有物理意義的積分方程、微分積分方程和常微分方程)。直到二十世紀初期，數學物理方程的研究才成為數學物理的主要內容。

此後，聯繫於等離子體物理、固體物理、非線性光學、空間技術核技術等方面的需要，又有許多新的偏微分方程問題出現，例如孤立子波、間斷解、分歧解、反問題等等。它們使數學物理方程的內容進一步豐富起來。複變函數、積分變換、特殊函數、變分法、調和分析、泛函分析以至於微分幾何、代數幾何都已是研究數學物理方程的有效工具。

從二十世紀開始，由於物理學內容的更新，數學物理也有了新的面貌。伴隨著對電磁理論和引力場的深入研究，人們的時空觀念發生了根本的變化，這使得閔科夫斯基空間和黎曼空間的幾何學成為愛因斯坦狹義相對論和廣義相對論所必需的數學理論。許多物理量以向量、張量和旋量作為表達形式在探討大範圍時空結構時，還需要整體微分幾何。

隨著電子計算機的發展，數學物理中的許多問題可以通過數值計算來解決，由此發展起來的“計算力學”“計算物理”都發揮著越來越大的作用。計算機直接模擬物理模型也成為重要的方法。此外各種漸近方法也繼續獲得發展。

量子力學和量子場論的產生，使數學物理添加了非常豐富的內容。在量子力學中物質的態用波函數刻畫，物理量成為運算元，測量到的物理量是運算元的譜。在量子場論中波函數又被二次量子化成為運算元，在電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用中描述粒子的產生和消滅。因此，必須研究各種函數空間的運算元譜、函數的譜分析和由運算元所形成的代數。同時還要研究微擾展開和重正化(處理髮散困難)的數學基礎。此外，用非微擾方法研究非線性場論也是一個令人注目的課題。

物理對象中揭示出的多種多樣的對稱性，使得群論顯得非常有用。晶體的結構就是由歐幾里得空間運動群的若干子群給出。正交群和洛倫茨群的各種表示對討論具有時空對稱性的許多物理問題有很重要的作用。

基本粒子之間，也有種種對稱性，可以按群論明確它們的某些關係。對基本粒子的內在對稱性的研究更導致了楊-米爾斯理論的產生。它在粒子物理學中意義重大，統一了弱相互作用和電磁相互作用的理論，提供了研究強子結構的工具。這個理論以規範勢為出發點，而它就是數學家所研究的纖維叢上的聯絡(這是現代微分幾何學中非常重要的一個概念)。有關纖維叢的拓撲不變數也開始對物理學發揮作用。

微觀的物理對象往往有隨機性。在經典的統計物理學中需要對各種隨機過程的統計規律有深入的研究。

數學物理學中的某些問題的例子如下：

1，行星運動的理論，特別是經典的三體問題，例如一個小行星在太陽和木星的綜合影響下的運動、剛體的迴轉運動。

2.勢論，主要應用於靜電學和非粘滯流體的流體力學中，如貝塞爾(Bessel)函數和勒讓德(IJegen-dre)多項式等許多重要的特殊函數就是與勢論共同發展起來的。複變函數對於二維問題很有用。

3.振動理論，確定一給定形狀的區域或由以不同方式相互作用著的物體組成的系統的電磁振動或彈性振動的簡正模式。在諸如微波空腔理論、聲學和地震學等方面，振動理論也起著重要作用。在這裡一些特殊數學函數也很重要。

4.波的傳播，包括例如對電磁波或聲波的衍射問題的精確解。

5.波動力學問題的求解，例如氦原子或氫分子或在散射過程中所遇到的問題，這些問題複雜到得不出直接的解析解，但仍可足夠簡單而精確地解出。在這裡變分法是最有用的。

6.擴散問題，例如中子在物質中的擴散、熱傳導和統計力學中的輸運現象。

7.色散理論，其中涉及到一體系對不同頻率的外力的反應。物質的光學性質、等離子體物理學和高能物理學就是其中的一些例子。

8.在流體力學、彈性理論等中的非線性問題。

9.與統計力學相關的概率論問題。直到第二次世界大戰期間，數學物理學的主要技巧還是求出問題的解析的數學解。自從第二次世界大戰以後，高速計算機已經變得愈來愈重要，並且業已對許多原本不能用解析方法求解的問題實現了數值解法。數學物理學這一名詞有時候作為理論物理學的同義語來使用。

科學的發展表明，數學物理的內容將越來越豐富，解決物理問題的能力也越來越強。其他各門科學，如化學生物學、地學、經濟學等也廣泛地利用數學模型來進行研究。數學物理中的許多方法和結果對這些研究發揮了很好的作用。

在工程科學中，處處需要精確地求解物理問題，所以數學物理對於技術進步也有非常重要的意義。此外，數學物理的研究對數學有很大的促進作用。它是產生數學的新思想、新對象、新問題以及新方法的一個源泉。

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