簡諧波

簡諧運動（或簡諧振動、諧振、SHM（Simple Harmonic Motion））既是最基本也是最簡單的一種機械振動。當某物體進行簡諧運動時，物體所受的力跟位移成正比，並且力總是指向平衡位置。

如果用F表示物體受到的回復力，用x表示物體對於平衡位置的位移，根據胡克定律，F和x成正比，它們之間的關係可用下式來表示：

式中的k是回復力與位移成正比的比例係數；符號的意思是：回復力的方向總跟物體位移的方向相反。

根據牛頓第二定律，F=ma，當物體質量一定時，運動物體的加速度總跟物體所受合力的大小成正比，並且跟合力的方向相同。簡諧運動系統的機械能守恆。

對於一維的簡諧振動，其動力學方程是二階微分方程，可由牛頓第二運動定律得到

回復力又可表示為

所以有

求解上述方程，得到的的解含有正弦函數

其中

，是由初始條件決定的常數。取平衡位置為原點，每項都有物理意義：A是振幅，ω= 2πf是角頻率，φ是相位。

利用微積分，速度和加速度可以作為時間的函數得到

加速度也可以作為位移的函數被得到

因為ω= 2πf，

又因為周期T= 1/f，所以：

以上方程說明了簡諧振動具有等時性，即一個做簡諧振動的質點運動周期和振幅以及相位無關。

將一個有孔小球體與一個彈簧連在一起，將一個極為光滑的水平桿穿入小球體，使球體可以在水平桿上左右滑動，而球體與水平桿的摩擦力小得可以忽略不計。將彈簧的一端固定住，彈簧的整體質量要比球體質量小得多，這樣彈簧本身質量也可以忽略不計。這個系統便是一個彈簧振子。

彈簧振子系統在平衡狀態下，彈簧沒有形變，振子（小球體）在平衡位置保持靜止。若把振子拉過平衡位置，到達最大幅度，再鬆開，彈簧則會將振子向平衡位置收回。在收回的過程中，彈簧的勢能轉換為振子的動能，勢能在降低的同時，動能在增加。當振子到達平衡位置時，振子所積累的動能又迫使振子越過平衡位置，繼續向同樣的方向移動。但因已越過彈簧振子系統的平衡位置，所以這時彈簧開始對振子向相反方向施加力。動能轉化為勢能，動能降低，勢能上升，直至到達離平衡位置最大幅度的距離。這時振子所有的動能被轉化為勢能，振子速度為零，停止運動。勢能又迫使振子移回平衡位置，在移動過程中，勢能轉為動能，因而再次越過平衡位置，重複這個過程。在沒有任何其他力影響的完美的條件下，這個彈簧振子系統會在兩個最大幅度點間不停地做往返運動。彈簧振子的固有周期和固有頻率與彈簧彈力係數和振子質量有關，與振幅大小無關。

1.振幅

振幅A代表質點偏離中心（平衡位置）的最大距離，它正比於。，即它的平方正比於系統的機械能E

2.角頻率

角頻率：。頻率f為周期T的倒數，其中。推導過程：

對於時間t求導，再關於時間t求導，由牛頓第二定律得兩式聯立得

• 如果一個質點在運動中所受的合外力是一個簡諧力即合外力的大小與位移成正比且方向相反，那麼我們稱這個質點的運動是簡諧振動。在彈簧振子模型中，比例係數k即為彈簧係數，或稱倔強係數（勁度係數）。

• 如果一個質點的運動方程有如下形式即，質點的位移隨時間的變化是一個簡諧函數，顯然此質點的運動為簡諧振動。

• 如果一個質點的動力學方程可以寫成其中ω為正的實數。質點的運動是一個簡諧振動

應該說明：

1.以上各判定方法是完全等價的；

2.以上各表達式中的x既可以是線量（線位移），又可以是角量（角位移），相應的，速度可以為線速度和角速度，對應的加速度是線加速度和角加速度。

• 平移運動

• 勻速運動

• 平拋運動

• 曲線運動