直線法

由於常微分方程組的理論或數值解法都比較成熟，問題也就容易解決。

在彈性力學的數值方法中，直線法也稱有限條帶法。現以簡單一維熱傳導方程為例，說明用直線法求解的要點。考慮如下的初邊值問題：式中x為坐標，t為時間，a>0，為一常數，

為滿足初邊值條件的函數。用直線，將區間[0，1]分割成n個條帶（見圖），未知解在直線上的值記為。於是在直線上它滿足方程如用二階差商代替式（2）右端的偏導數，上述問題就變成下列近似常微分方程組的初邊值問題：方程組（3）可用常微分方程的數值解法求得一組近似解（i=1，2，…，n－1），它代表問題（1）的解u（x，t）在直線上的近似值。再用內插法，就能得到整個區間[0，1]上的近似解。除用差商代替空間導數外，也可用插值公式來逼近。1963年，Г.Ф.捷列寧就是利用這種方法計算鈍頭體繞流的。他不採用差商代替微商，而改用高次內插多項式逼近微商，並把混合型方程的邊值問題化為常微分方程組的兩點邊值問題。這種方法後來被稱為捷列寧方法，由於在定解區域內解的解析性質較好，此法只用三、四個條帶，就能達到高階精度。直線法的另一個主要發展是1951年A. A. 多羅德尼岑提出的積分關係法，它被用於求解空氣動力學問題。該法是從守恆型偏微分方程出發，先按某一變數求積，獲得一組積分關係式，再用適當的內插公式代替積分關係式中的被積函數，最後導出近似常微分方程組。由於積分后的函數比被積函數更光滑，當被積函數有第一類間斷點時，積分仍能給出連續的表達式。因此，當流場中出現間斷面時，積分關係法仍能保持物理量的守恆關係，而普通直線法則不能做到這一點。此法曾被用來求解鈍頭旋轉體高速飛行時的繞流問題並獲得了成功。為使積分關係法也能適用於邊界層的計算，1960年多羅德尼岑還提出廣義積分關係法。該法用逐段連續的“權函數”去乘原始方程組中的每一個方程並進行積分。對梯度變化較大的被積函數，可選擇適當的權函數加以“平滑”。這樣，就能以低級近似來獲得高精度的數值解。應用直線法和積分關係法都具有結構簡單、機器存儲量小和運算時間省的優點。缺點是，當近似常微分方程組階數很高或出現奇點時，常會出現計算不穩定問題。直線法和積分關係法既可用於求解線性的，也可求解非線性的拋物型、雙曲型、橢圓型和混合型偏微分方程，甚至還可用於求解微分-積分方程。因此，它們在彈性力學、流體力學、物理－化學流體動力學和數學物理的其他問題中都有廣泛的應用。