非線性濾波
非線性濾波
非線性濾波，一般的非線性最優濾波可歸結為求條件期望的問題，對於有限多個觀測值的情形，條件期望原則上可以用貝葉斯公式來計算。
現對一般的非線性濾波問題的研究相當活躍，常用的有同態濾波。
一般的非線性最優濾波可歸結為求條件期望的問題。對於有限多個觀測值的情形，條件期望原則上可以用貝葉斯公式來計算。但即使在比較簡單的場合，這樣得出的結果也是相當繁雜的，無論對實際應用或理論研究都很不方便。與卡爾曼濾波類似，人們也希望能給出非線性濾波的某種遞推演演算法或它所滿足的隨機微分方程。但一般它們並不存在，因此必須對所討論的過程X與Y加以適當的限制。非線性濾波的研究工作相當活躍，它涉及隨機過程論的許多近代成果，如隨機過程一般理論、鞅、隨機微分方程、點過程等。其中一個十分重要的問題，是研究在什麼條件下，存在一個鞅M，使得在任何時刻,M和Y 都包含同樣的信息；這樣的M稱為Y 的新息過程。目前對於一類所謂“條件正態過程”，已經給出了非線性最優濾波的可嚴格實現的遞推算式。在實際應用上，對非線性濾波問題往往採用各種線性近似的方法。
非線性濾波建立在線性代數和隱馬爾可夫模型(hidden Markov model)上。其基本動態系統可以用一個馬爾可夫鏈表示，該馬爾可夫鏈建立在一個被高斯雜訊(即正態分佈的雜訊)干擾的線性運算元上的。系統的狀態可以用一個元素為實數的向量表示。隨著離散時間的每一個增加，這個線性運算元就會作用在當前狀態上，產生一個新的狀態，並也會帶入一些雜訊，同時系統的一些已知的控制器的控制信息也會被加入。同時，另一個受雜訊干擾的線性運算元產生出這些隱含狀態的可見輸出。
為了從一系列有雜訊的觀察數據中用卡爾曼濾波器估計出被觀察過程的內部狀態，我們必須把這個過程在卡爾曼濾波的框架下建立模型。也就是說對於每一步k，定義矩陣Fk, Hk, Qk, Rk，有時也需要定義Bk，如下。
非線性濾波器的模型。圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號代表高斯雜訊，其協方差矩陣在右下方標出。
卡爾曼濾波模型假設k時刻的真實狀態是從(k − 1)時刻的狀態演化而來，符合下式：
其中
Fk 是作用在xk−1上的狀態變換模型（/矩陣/矢量）。
Bk 是作用在控制器向量uk上的輸入－控制模型。
wk 是過程雜訊，並假定其符合均值為零，協方差矩陣為Qk的多元正態分佈。
時刻k，對真實狀態 xk的一個測量zk滿足下式:
其中Hk是觀測模型，它把真實狀態空間映射成觀測空間，vk 是觀測雜訊，其均值為零，協方差矩陣為Rk,且服從正態分佈。
初始狀態以及每一時刻的雜訊{x0, w1, ..., wk, v1 ... vk} 都認為是互相獨立的.
實際上，很多真實世界的動態系統都並不確切的符合這個模型；但是由於卡爾曼濾波器被設計在有雜訊的情況下工作，一個近似的符合已經可以使這個濾波器非常有用了。更多其它更複雜的卡爾曼濾波器的變種，在下邊討論中有描述。
數字信號處理可以用於廉價地構建不同類型的濾波器。信號經過採樣、模數轉換轉變成數字流，經常使用運行在中央處理器或者特殊的數字信號處理器的計算機程序而不是硬體演演算法來計算輸出的數字流，它的輸出然後通過數模轉換轉變成信號。在轉換過程中可能會產生雜訊，但是對於許多有用的濾波器來說它們可以控制和限制的。由於涉及到採樣，所以輸入信號必須限定在一定的頻率，否則就會產生混疊。
電源濾波器是指裝設於交流電源側的雜訊濾波器（Noise Filter），用來消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經過過濾而得到純凈的交流電，可將內部雜訊控制於內部中，防止雜訊藉由電纜線傳導到其他電器中。 。
在二十世紀三十年代晚期，工程師發現如石英這樣的堅硬材料製成的小型機械系統將會在從可聽見的聲音頻率到幾百兆赫茲的無線電頻率發生聲學諧振。
一些早期的諧振器是用鋼製成的，但是很快石英就流行起來。石英的最大優點是它是壓電式的，這就意味著石英振蕩器可以直接將它們自身的運動轉化成電子信號。另外石英隨溫度變化的係數很小，這就是說石英振蕩器能夠在很大的溫度變化範圍內保持穩定的頻率。
石英晶體濾波器的質量因數遠遠高於 LCR 濾波器。當需要更高的穩定性時，晶體和驅動電路能夠放到一個“晶體箱”中控制溫度變化。對於極窄帶寬的濾波器，有時需要串列使用幾個晶體。
工程師發現可以在石英晶體上蒸發金屬成梳狀從而可以將多個晶體疊加成一個元件，在這種機制下，“抽頭（tapped）延時線”在聲波滑過石英晶體表面時能夠增強所要頻率。抽頭延時線已經成為多種實現高Q濾波器方法的一個通用機制。
表面聲波濾波器是經常用於無線電頻率應用的機電設備，電子信號在壓電晶體中轉化為機械波；這個波在通過晶體傳播時發生延時；後面的電極將它轉換成電信號。延時的輸出信號組合在一起成為有限脈衝響應濾波器的一個直接的模擬實現。這種混合濾波技術也見於模擬採樣濾波器中。