估計量

estimator

用來估計總體未知 參數用的 統計量。

當經 測定的具體 數值代入估計量時，它就是一個具體的數值稱為估計值，英文是estimate。

設（X1，……，Xn)為來自總體X的樣本，（x1,…xn）為相應的樣本值，θ是總體分佈的未知參數,θ∈Θ，

Θ表示θ的取值範圍，稱Θ為參數空間。儘管θ是未知的，但它的參數空間Θ是事先知道的。為了估計未知參數θ,我們構造一個統計量h（X1，……，Xn),然後用h（X1，……，Xn)的值h（x1,…xn）來估計θ得真值，稱h（X1，……，Xn)為θ的估計量。

參數的點估計就是根據樣本構造一個統計量，作為總體未知參數的估計。

定義1設總體的X未知參數為，樣本為，根據樣本構造一個統計量作為未知參數的估計，則稱這個統計量為未知參數的估計量.

估計量的常用標準有三個，分別為：無偏性、有效性和一致性

（一）無偏性

定義若估計量=(X1,X2,…,Xn)的數學期望E()存在，且對於任意∈有

E()=,則稱是的無偏估計。

在科學技術中E()-稱為以作為估計的系統誤差，無偏估計的實際意義就是無系統誤差。

例1：設總體X的的k階矩k=E(Xk)(k1)存在，又設X1,X2,…,Xn是X的一個樣本。試證明不論總體服從什麼分佈特別，不論總體服從什麼分佈，只要它的數學期望存在

總是總體X的數學期望1=E(X)的無偏估計量。

例2：對於均值,方差0都存在的總體，若,2均為未知，則2的估計量是有偏的。

以下定義和屬性是相關的。

誤差

對於一個給定樣本x，估計量的"誤差"定義為

其中是待估參數。注意誤差e不僅取決於估計量（估計公式或過程），還取決於樣本。

均方誤差

估計量的均方誤差被定義為誤差的平方的期望值，即為：

它用來顯示估計值的集合與被估計單個參數的平均差異。試想下面的類比：假設“參數”是靶子的靶心，“估計量”是向靶子射箭的過程，而每一支箭則是“估計值”（樣本）。那麼，高均方誤差就意味著每一支箭離靶心的平均距離較大，低均方誤差則意味著每一支箭離靶心的平均距離較小。箭支可可能會集聚也可能不。比如說，即使所有箭支都射中了同一個點，同時卻嚴重偏離了靶子，均方誤差相對來說依然很大。然而要注意的是，如果均方誤差相對較小，箭支則更有可能集聚（而不是離散）。