方差
衡量源數據和期望值相差的度量值
（variance)是在概率論和統計方差衡量隨機變數或一組數據時離散程度的度量。概率論中方差用來度量隨機變數和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。統計中的方差（樣本方差）是每個樣本值與全體樣本值的平均數之差的平方值的平均數。在許多實際問題中，研究方差即偏離程度有著重要意義。
方差是衡量源數據和期望值相差的度量值。
“方差”（variance）這一詞語率先由羅納德·費雪（Ronald Fisher）在其論文《The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance》中提出。
方差在統計描述和概率分佈中各有不同的定義，並有不同的公式。
在統計描述中，方差用來計算每一個變數（觀察值）與總體均數之間的差異。為避免出現離均差總和為零，離均差平方和受樣本含量的影響，統計學採用平均離均差平方和來描述變數的變異程度。總體方差計算公式：
為總體方差，為變數，為總體均值，為總體例數。
實際工作中，總體均數難以得到時，應用樣本統計量代替總體參數，經校正後，樣本方差計算公式：
為樣本方差，為變數，為樣本均值，為樣本例數。
在概率分佈中，設X是一個離散型隨機變數，若存在，則稱為的方差，記為,)或，其中是的期望值，是變數值，公式中的是期望值expected value的縮寫，意為“變數值與其期望值之差的平方和”的期望值。離散型隨機變數方差計算公式：
當稱為變數的方差，而稱為標準差（或均方差）。它與有相同的量綱。標準差是用來衡量一組數據的離散程度的統計量。
對於連續型隨機變數X，若其定義域為(a,b)，概率密度函數為f(x)，連續型隨機變數X方差計算公式：
方差刻畫了隨機變數的取值對於其數學期望的離散程度。（標準差、方差越大，離散程度越大)
若的取值比較集中，則方差較小，若X的取值比較分散，則方差D(X)較大。
因此，是刻畫取值分散程度的一個量，它是衡量取值分散程度的一個尺度。
1、設C是常數，則D（C）=0
2、設X是隨機變數，C是常數，則有
3、設X與Y是兩個隨機變數，則
其中協方差
特別的，當X，Y是兩個不相關的隨機變數則
此性質可以推廣到有限多個兩兩不相關的隨機變數之和的情況。
4、的充分必要條件是以概率1取常數，即
（當且僅當X取常數值時的概率為1時，。）
註：不能得出X恆等於常數，當x是連續的時候X可以在任意有限個點取不等於常數c的值。
5、。
證明
1、
2、
3、
上式右端第三項為。
若相互獨立，由數學期望的性質知道上式為0。
4、充分性：，則有
必要性：用反證法，概率不會大於1，只需考慮是否等於1或小於1。
假設，則對於某一個數。
但是由切比雪夫不等式，當D（X）=0，滿足與上式矛盾。
於是。
離散型方差的計算式為：，其中。
而將上式展開后可得：
連續型方差的計算式為：，其中。
將上式展開后可得：
以上兩式是一樣的，只是寫法不同。
證明：由數學期望的性質得
服從兩點分佈，則
服從超幾何分佈，即，則
服從二項分佈，即，則
服從泊松分佈，即,則
服從均勻分佈，即,則,
服從指數分佈，即,則
服從正態分佈，即,則
服從標準正態分佈，即,則
求正態分佈的數學期望&&方差
設,求E(X),D(X).
令,由於，所以,已知E(Z)=0,D(Z)=1,從而
已知某零件的真實長度為a，現用甲、乙兩台儀器各測量10次，將測量結果X用坐標上的點表示如圖：
甲儀器測量結果：
兩台儀器的測量結果的均值都是 a 。但是用上述結果評價一下兩台儀器的優劣，很明顯，我們會認為乙儀器的性能更好，因為乙儀器的測量結果集中在均值附近。
由此可見，研究隨機變數與其均值的偏離程度是十分必要的。那麼，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？容易看到能度量隨機變數與其均值E(X)的偏離程度。但由於上式帶有絕對值，運算不方便，通常用量這一數字特徵就是方差。
方差是實際值與期望值之差平方的平均值，而標準差是方差算術平方根。在實際計算中，我們用以下公式計算方差。
方差是各個數據與平均數之差的平方的和的平均數，即，其中，x表示樣本的平均數，n表示樣本的數量，xi表示個體，而就表示方差。
而當用作為樣本的方差的估計時，發現其數學期望並不是X的方差，而是方差的倍，的數學期望才是的方差，用它作為X的方差的估計具有“無偏性”，所以我們總是用來估計的方差，並且把它叫做“樣本方差”。
方差是和中心偏離的程度，用來衡量一批數據的波動大小（即這批數據偏離平均數的大小）並把它叫做這組數據的方差，記作S。在樣本容量相同的情況下，方差越大，說明數據的波動越大，越不穩定。
公式可以進一步推導為：。其中為這組數據中的數據，為大於0的整數。
當數據分佈比較分散（即數據在平均數附近波動較大）時，各個數據與平均數的差的平方和較大，方差就較大；當數據分佈比較集中時，各個數據與平均數的差的平方和較小。因此方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動就越小。
樣本中各數據與樣本平均數的差的平方和的平均數叫做樣本方差；樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。樣本方差和樣本標準差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標準差越大，樣本數據的波動就越大。
方差和標準差是測算離散趨勢最重要、最常用的指標。方差是各變數值與其均值離差平方的平均數，它是測算數值型數據離散程度的最重要的方法。標準差為方差的算術平方根，用S表示。方差相應的計算公式為
標準差與方差不同的是，標準差和變數的計算單位相同，比方差清楚，因此很多時候我們分析的時候更多的使用的是標準差。
方差不僅僅表達了樣本偏離均值的程度，更是揭示了樣本內部彼此波動的程度，也可以理解為方差代表了樣本彼此波動的期望。當然，這個結論目前是在二階統計矩下成立。
基本信息
- 中文名
- 方差
- 外文名
- variance/deviation Var
- 提出者
- 羅納德·費雪（Ronald Fisher）
- 應用學科
- D(X) 數學（統計學）
- 電子產品類別
- 離散型方差、連續型方差
- 定義
- 數據與平均數之差平方和的平均數
- 編寫
- Var.或DX