切比雪夫定理

切比雪夫定理 chebyshev's theorem 其大意是：任意一個數據集中，位於其平均數m個標準差範圍內的比例（或部分）總是至少為1-1/㎡，其中m為大於1的任意正數。對m=2，m=3和m=5有如下結果：

所有數據中，至少有3/4（或75%）的數據位於平均數2個標準差範圍內。

所有數據中，至少有8/9（或88.9%）的數據位於平均數3個標準差範圍內。

所有數據中，至少有24/25（或96%)的數據位於平均數5個標準差範圍內。

意義切比雪夫不等式說明，DX越小，則 P{|X-EX|>=ε} 越小，P{|X-EX|<ε}越大，也就是說，隨機變數X取值基本上集中在EX附近，這進一步說明了方差的意義。

切比雪夫不等式可以使人們在隨機變數X的分佈未知的情況下，對事件 概率作出估計。

定理

設隨機變數X具有數學期望，方差 則對任意正數ε，不等式 或 成立。

注意：應用切比雪夫不等式必須滿足E(X)和D(X)存在且有限這一條件。

若對於任意的ε>O，當n很大時，事件“ ”的概率接近於0，則稱隨機變數序列{Xn}依概率收斂於a 。正因為是概率，所以不排除小概率事件“”發生。所以，依概率收斂是不確定現象中關於收斂的一種說法，記為。

切比雪夫定理

設X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變數序列，數學期望E(Xi)和方差D(Xi)都存在(i=1，2，…)，且D(Xi)0，有

特別地：X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的隨機變數序列，數學期望E(Xi)=μ和方差D(Xi)=σ(i=1，2，…)，則對任意給定的ε>0，有

即切比雪夫定理的這一推論，使我們關於算術平均值的法則有了理論根據．設測量某一物理量a，在條件不變的情況下重複測量n次，得到的結果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，這些測量結果可看作是n個獨立隨機變數X1，X2，…，Xn的試驗數值，並且有同一數學期望a。於是，按大數定理j可知，當n足夠大時，下式成立，即

上式表明，n足夠大時，把n次測量結果的算術平均值作為a的近似值，所產生的誤差是很小的。