分歧理論

研究參系衡態隨參化化，平衡態由一個分裂為二個或多個的現象。近年來由於實際問題中不斷湧現出大量的分歧問題，也由於在理論上建立了較系統地處理這類問題的方法而發展成為一個獨立的數學研究方向。

廣泛歧。例，沿軸壓彈圓柱桿（圖）。若以軸向外力λ為參數，當λ由0逐漸增大時，桿開始變為粗短，但其中心線則保持挺直；而當λ越過某一定值λc時，桿的中心線由直變彎。因為對一切外力λ，直桿都是一種平衡態，所以當時，只有一個平衡態，而當時則至少有兩個平衡態：直的與彎的。

旋轉流隨角速增，層流裂泰勒旋渦及複雜周、雙周構；傳導板隨溫差增，熱傳導裂熱流；化反，隨濃增，溫布衡態；及氫氣的自燃、雙星的裂變等等都是分歧現象。

在數學上，用運算元方程(1)的解來描寫系統的平衡態，其中λ是參數，而x則屬於某向量空間。用Sλ表示固定λ時滿足(1)的x的集合即解集，所謂λ0是一個分歧點，是指對於λ0的一個鄰域V，存在的一個鄰域U，以及，使得與不是同胚的。然而，通常流行的說法則是下列比較直接的描述：設總滿足(1),即呏0。一點稱為分歧點，是指在它的任意鄰域內都含有(1)的非θ解。

分歧的數學理論主要研究以下幾個問題：①一點成為分歧點的充分必要條件；②在分歧點附近，解集的構造；③對分歧點局部的了解能否導出有關解集的整體性結論。

由隱函數定理可知，若是分歧點，則必須偏導數是奇異的。但它不是一個充分條件。在一些特殊情況下，可以利用線性化運算元的譜來作判斷，然而常用的辦法是通過有窮維約化手續（李亞普諾夫-施密特手續或中心流形理論）將(1)約化為有窮維方程組，再利用各種特定條件把這有窮維方程組在鄰近的解集行為歸結到相應的截斷泰勒展開式去研究。例如，若這約化后的方程在附近呈下列形式：

式中，而,則可以通過適當的坐標變換將其化為方程

(3)

通過在參數空間上觀察(3)的解集個數的變化，可以回復到(2)的分歧行為，不難看出，尖點方程決定的曲線正是解集個數變化的分界線，稱為分歧曲線（或面）。觀察圖2,其中a為解集曲面；b顯示了分歧曲線，解的個數在此曲線兩側各為1個與3個；c是在平面上解集曲面之截口；d為固定時解集曲面的截口。

有許多情況約化方程組不能歸結到相應的泰勒展開式，這在退化階數高而參數空間維數不夠的時候經常發生。此時往往要利用約化方程的特性去獲得有關分歧曲面的知識。

從分歧點的局部性態不容易獲得解集的整體性質。這方面人們知道得很少。P.H.拉賓諾維茨利用拓撲度方法討論了從奇數重特徵值分歧出的連通分支在整體上的幾種可能性，它被應用於討論非線性斯圖姆-劉維爾問題解的個數。例如，

式中λ是參數。當時，此方程正好有n個非平凡解，這裡λn是對應的線性化方程的特徵值，。

因為分歧問題來自動力體系中平衡態個數的變化，在物理上，人們關心哪個平衡態是穩定的，所以經常要討論分歧前後解的穩定性。在微分方程中平衡態通常表現為平衡點、周期軌道、擬周期軌道或異常軌道。從平衡點分歧出周期軌道的分支稱為霍普夫分支。