拉普拉斯展開

行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開。由於矩陣有n行n列，它的拉普拉斯展開一共有2種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關於行的一切子式。它們的每一項和對應的代數餘子式的乘積之和仍然是的行列式。研究一些特定的展開可以減少對於矩陣之行列式的計算，拉普拉斯公式也常用於一些抽象的推導中。

設B= (bij)是一個n×n矩陣。B關於第i行第j列的餘子式Mij是指B中去掉第i行第j列后得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的 餘子式。B的 代數餘子式：Cij是指B的 餘子式Mij與(-1)的乘積：

Cij= (−1)Mij

拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對於任意i,j∈ {1, 2, ...,n}：

考慮以下的矩陣：

這個矩陣的行列式可以用沿著第一行的拉普拉斯展開式來計算：

也可以用沿著第二列的拉普拉斯展開式來計算：

很容易看到這個結果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。

設B是一個 的矩陣， 。為了明確起見，將 的係數記為，其中。

考慮B的行列式|B|中的每個含有 的項，它的形式為：

其中的置換τ ∈Sn使得τ(i) =j，而σ ∈Sn-1是唯一的將除了i以外的其他元素都映射到與τ相同的像上去的置換。顯然，每個τ都對應著唯一的σ，每一個σ也對應著唯一的τ。因此我們創建了Sn−1與{τ∈Sn:τ(i)=j}之間的一個雙射。置換τ可以經過如下方式從σ得到：

定義σ' ∈Sn使得對於1 ≤k≤n−1，σ'(k) = σ(k)並且σ'(n) =n，於是sgnσ' = sgn σ。然後

由於兩個輪換分別可以被寫成 和 個對換，因此

因此映射σ ↔ τ是雙射。由此：

從而拉普拉斯展開成立。

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和餘子式的基礎上，說明了如果將B關於某k行的每一個子式和對應的代數餘子式的乘積加起來，那麼得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的雙射來證明兩者相等。