三角恆等式
三角恆等式
關於三角函數的一些已證明的恆等式。
三角函數
sinθ（正弦）cosθ（餘弦）tanθ（正切）cotθ（餘切）secθ（正割）cscθ（餘割）
定名法則
90°的奇數倍+α的三角函數，其絕對值與α三角函數的絕對值互為余函數。90°的偶數倍+α的三角函數與α的三角函數絕對值相同。也就是“奇余偶同，奇變偶不變”。
定號法則
將α看做銳角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函數的符號。也就是“象限定號，符號看象限”（或為“奇變偶不變，符號看象限”）。
在Kπ/2中如果K為偶數時函數名不變，若為奇數時函數名變為相反的函數名。正負號看原函數中α所在象限的正負號。關於正負號有個口訣；一全正，二正弦，三兩切，四餘弦，即第一象限全部為正，第二象限角，正弦為正，第三象限，正切和餘切為正，第四象限，餘弦為正。或簡寫為“ASTC”，即“all”“sin”“tan+cot”“cos”依次為正。還可簡記為：sin上cos右tan/cot對角，即sin的正值都在x軸上方，cos的正值都在y軸右方，tan/cot 的正值斜著。
比如：90°+α。定名：90°是90°的奇數倍，所以應取余函數；定號：將α看做銳角，那麼90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦為正，餘弦為負。所以sin（90°+α）=cosα , cos（90°+α）=-sinα 這個非常神奇，屢試不爽~
還有一個口訣“縱變橫不變，符號看象限”，例如：sin（90°+α），90°的終邊在縱軸上，所以函數名變為相反的函數名，即cos，所以sin（90°+α）=cosα。
sin（2kπ+α）=sinα；cos(2kπ+α）=cosα；
tan（kπ+α）=tanα；
cot（2kπ+α）=cotα；sec（2kπ+α）=secα；
csc（2kπ+α）=cscα；
sin（π+α）=－sinα；cos（π+α）=－cosα；
tan（π+α）=tanα；
cot（π+α）=cotα；sec(π+α)=－secα；
csc（π+α）=－cscα；
sin（－α）=－sinα；cos（－α）=cosα；
tan（－α）=－tanα；
cot（－α）=－cotα；sec（－α）=secα；
csc（－α）=－cscα；
sin（π－α）=sinα；cos（π－α）=-cosα；
tan（π－α）=－tanα；
cot（π－α）=－cotα；sec（π－α）=-secα；
csc（π-α）=cscα；
sin（α-π）=－sinα；cos（α-π）=－cosα；
tan（α-π）=tanα；
cot（α-π）=cotα；sec(α-π)=－secα；
csc（α-π）=－cscα；
sin（2π－α）=－sinα；cos（2π－α）=cosα；
tan（2π－α）=－tanα；
cot（2π－α）=－cotα；sec（2π－α）=secα；
csc（2π－α）=－cscα；
sin（π/2+α）=cosα；cos（π/2+α）=－sinα；
tan（π/2+α）=－cotα；
cot（π/2+α）=－tanα；sec(π/2+α)=－cscα；
csc（π/2+α）=secα；
sin（π/2－α）=cosα；cos（π/2－α）=sinα；
tan（π/2－α）=cotα；
cot（π/2－α）=tanα；sec（π/2－α）=cscα；
csc（π/2－α）=secα；
sin（3π/2+α）=－cosα；cos（3π/2+α）=sinα；
tan（3π/2+α）=－cotα；
cot（3π/2+α）=－tanα；sec（3π/2+α）=cscα；
csc（3π/2+α）=－secα；
sin（3π/2－α）=－cosα；cos（3π/2－α）=－sinα；
tan（3π/2－α）=cotα；
cot（3π/2－α）=tanα；sec（3π/2－α）=－cscα；
csc（3π/2－α）=－secα；
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2
tan(2α)=2tanα/[1-(tanα)^2]
cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)
sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)
csc(2α)=1/2*secα·cscα
sin(3α) = 3sinα-4(sinα)^3= 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)
cos(3α) = 4(cosα)^3-3cosα= 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)
tan(3α) = (3tanα-(tanα)^3)/(1-3(tanα)^2) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)
cot(3α)=((cotα)^3-3cotα)/(3cotα-1)
倍角公式
根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式
sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…
cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α
sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2] cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]
tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=cscα-cotα
cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cotα)=cscα+cotα
sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)] csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]
輔助角Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin[α+arctan(B/A)] Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos[α-arctan(A/B)]
sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan^2(a/2)] cos(a)=[1-tan^2(a/2)]/[1+tan^2(a/2)]
tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan^2(a/2)]
降冪公式
(sinα)^2=[1-cos(2α)]/2
(cosα)^2=[1+cos(2α)]/2
(tanα)^2=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]
三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)
冪級數
c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)
它們的各項都是正整數冪的冪函數, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數，這種級數稱為冪級數。
泰勒展開式又叫冪級數展開法
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞
ln(1+x)=x-x²/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞
arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k+1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示雙階乘
arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞
cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞
arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)
傅里葉級數又稱三角級數
f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)
a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx
an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx
bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx
記憶口訣
奇變偶不變，符號看象限
其他
設A，B，C是三角形的三個內角
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2+2cosAcosBcosC=1
tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1
sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC
sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
周氏公式:
sinAsinB+sin(A+B+C)sinC=sin(A+C)sin(B+C)
（一）不等式的證明
已知A，B，C是三角形的三個內角
求證cotA+cotB+cotC>=√3
cotA+cotB+cotC=cotA+cotB-cot(A+B)>cotA+cotB-cot(B)=cotA>0
(cotA+cotB+cotC)^2>=3(cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA)=3
所以cotA+cotB+cotC>=√3
基本信息
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