雅可比橢圓函數

雅可比橢圓函數，數學術語，常見於高等數學之中。

1雅可比橢圓函數的定義 2雅可比橢圓函數的性質 3轉換關係

雅可比橢圓函數的定義

第一類橢圓積分

z=∫[(1-t^2)(1-k^2*t^2)]^(-1/2)dt (0~ω)

的反函數是雙周期的亞純函數，記作

ω=sn(z)=sn(z,k)

它具有基本周期：

ω=4K=4∫[1-k^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2)

ω'=2iK'=2i∫[1-k’^2*sin(θ)^2]^(-1/2)dθ (0~π/2) k'=Sqr(1-k^2)

sn(z)稱為橢圓正弦，k為模，k‘為補模。若

sin(φ)=sn(z)

則稱φ為z的振幅函數，記作 φ=am(z) 又定義

cn(z)=cos(φ)=sqr(1-sn(z)^2) (橢圓餘弦)

tn(z)=tan(φ)=sn(z)/cn(z) (橢圓正切)

dn(z)=sqr(1-k^2*sn(z)^2)

上式中 sn(z) cn(z) tn(z) dn(z) 統稱雅可比橢圓函數，它們都是二階橢圓函數。

雅可比橢圓函數的性質

特殊點的值

z0 K/2K iK'/2 K+iK'/2iK'K+iK'sn(z)0(1+k'^2)^(-1/2)1 ik^(-1/2) k^(-1/2)∞1/kcn(z)1sqr(k'/(1+k'))0sqr((k+1)/k)-sqr((k-1)/k)∞-ik'/kdn(z)1 k'^(1/2)k' sqr(1+k) sqr(1-k)∞0

周期，零點，極點，留數

	基本周期	零點	極點	留數
sn(z)	4K 2iK'	2mK+2niK'	2mK+(2n+1)iK'	((-1)^m)/k
cn(z)	4K 2K+2iK'	(2m+1)K+2niK'	2mK+(2n+1)iK'	((-1)^(m+n))/(ik)
dn(z)	2K 4iK'	(2m+1)K+(2n+1)iK'	2mK+(2n+1)iK'	(-1)^(n-1)*i

誘導公式表

sn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1		1	2	2p
-1	-dn(z)/(k*cn(z))	±1/(k*sn(z))	dn(z)/(k*cn(z))	負正1/(k*sn(z))
	-cn(z)/dn(z)	±sn(z)	cn(z)/dn(z)	負正sn(z)
1	-dn(z)/(k*cn(z))	±1/(k*sn(z))	dn(z)/(k*cn(z))	負正1/(k*sn(z))
2	-cn(z)/dn(z)	±sn(z)	cn(z)/dn(z)	負正sn(z)
2q					(-1)^p*sn(z)

cn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1		1	2	2p
-1	-(ik')/(kcn(z))	±(idn(z))/(ksn(z))	(ik')/(kcn(z))	負正(idn(z))/(ksn(z))
	±(k'sn(z))/dn(z)	cn(z)	負正(k'sn(z))/dn(z)	-cn(z)
1	(ik')/(kcn(z))	負正(idn(z))/(ksn(z))	-(ik')/(kcn(z))	±(idn(z))/(ksn(z))
2	負正(k'sn(z))/dn(z)	-cn(z)	±(k'sn(z))/dn(z)	cn(z)
2q					(-1)^(p+q)*cn(z)

dn(mK+niK±z)

╲m n╲	-1		1	2	p
-1	負正(ik'sn(z))/cn(z)	±(icn(z))/sn(z)	負正(ik'sn(z))/cn(z)	±(icn(z))/sn(z)
	k'/dn(z)	dn(z)	k'/dn(z)	dn(z)
1	±(ik'sn(z))/cn(z)	負正(icn(z))/sn(z)	±(ik'sn(z))/cn(z)	負正(icn(z))/sn(z)
2	-k'/dn(z)	-dn(z)	-k'/dn(z)	-dn(z)
q					(-1)^q*dn(z)