牛頓插值法
牛頓插值法
插值法利用函數f(x)在某區間中若干點的函數值，作出適當的特定函數，在這些點上取已知值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f(x)的近似值。
牛頓插值法相對於拉格朗日插值法具有承襲性的優勢，即在增加額外的插值點時，可以利用之前的運算結果以降低運算量。
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如果這特定函數是多項式，就稱它為插值多項式。利用插值基函數很容易得到拉格朗日插值多項式，公式結構緊湊，在理論分析中甚為方便，但當插值節點增減時全部插值基函數均要隨之變化，整個公式也將發生變化，這在實際計算中是很不方便的，為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。
牛頓插值法的特點在於：每增加一個點，不會導致之前的重新計算，只需要算和新增點有關的就可以了。
假設已知n+1n+1個點相對多項式函數ff的值為：(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯,(xn,f(xn))(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),⋯,(xn,f(xn))，求此多項式函數f。
先從求滿足兩個點(x0,f(x0)),(x1,f(x1))(x0,f(x0)),(x1,f(x1))的函數f1(x)f1(x)說起：
假設f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)f1(x)=f(x0)+b1(x−x0)，
現在我們增加一個點，(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))(x0,f(x0)),(x1,f(x1)),(x2,f(x2))，求滿足這三個點的函數f2(x)f2(x)：
假設f2(x)=f1(x)+b2(x−x0)(x−x1)f2(x)=f1(x)+b2(x−x0)(x−x1)，
以此類推，我們得到牛頓插值法為：
牛頓插值法