應力函數和位移函數

函 函彈題艾函。，量滿足下列方程：

()

根據程(),量函表示為：

　(2)

φ便是艾里應力函數。對於均勻和各向同性的物體,φ是一個雙調和函數，即它滿足下列雙調和方程：

， (3)

式中是平面的拉普拉斯算符。引入φ后，平面問題原來的8個未知函數(兩個位移分量、三個應變分量和三個應力分量就歸結為一個函數φ。這對求解具體問題很有好處。

在彈性柱體的扭轉問題中，剪應力分量滿足下列平衡方程：

(4)

據此可將用一個函數表示為：

(5)

Ψ稱為普朗特應力函數。對於均勻和各向同性的柱體,Ψ滿足下列方程：

， (6)

式中G為材料的剪切模量（見材料的力學性能）;θ為單位長度的扭轉角。

在求解彈性力學的空間問題時，也可以用六個應力函數代替原來的六個應力分量，但好處不多。所以，一般多採用各種位移函數。對於均勻和各向同性彈性體，位移分量滿足下列平衡方程：

(7)

式中是空間中的拉普拉斯算符；ν為材料的泊松比；G為剪切模量；體力分量。方程(7)的解可以表達成多種形式。一種形式為：

式中四個函數滿足下列方程：

　(9)

函數稱為布森涅斯克-帕普科維奇-紐勃位移函數。彈性力學中許多空間問題的解都是從公式(8)推導出來的。

方程(7)還有另一種形式的解，即

(10)

式中Fi滿足下列方程：

(11)

函數稱為布森涅斯克-索米利亞納－伽遼金位移函數。對於迴轉體的軸對稱問題，公式(10)可作許多簡化。取對稱軸為z軸(軸),記r為所考慮點到z軸的距離，並記位移在r、z軸上的投影分別為u、ω。若，可取。這樣，由公式(10)可得到：

, (12)

式中，即柱坐標中的拉普拉斯算符；F滿足下列方程：

(13)

公式(12)中的函數F稱為樂甫位移函數。在求解軸對稱問題時，經常利用公式(12)。

在的情況下，即使不是軸對稱問題，方程(7)的解也可用一組位移函數F、f表示如下：

式中F、f滿足下列方程：

　(15)

這組位移函數特別適用於求解無限體、半無限體和厚板等問題。