微分幾何

本書是北京大學微分幾何課程教材，並為普通高等教育“十五”國家級規劃教材，其前身《微分幾何初步》曾於1995年獲教育部優秀教材一等獎。本書主要講述三維歐氏空間中曲線和曲面的理論。全書共七章，內容包括：預備知識、曲線論、曲面的第一基本形式、曲面的第二基本形式、曲面論基本定理、測地曲率和測地線，以及活動標架和外微分法。本書的取材和體例仍同於《微分幾何初步》，但在內容上吸取了近幾年教學改革和教學實踐的新鮮經驗，作了較多的增改；並增添了一定數量的習題。附錄也有增刪，例如為便於讀者自學，增加了用MATHEMATICA做的課件；書末並附有習題解答和提示，便於讀者使用。

緒論

第一章 預備知識

§1.1 三維歐氏空間中的標架

§1.2 向量函數

第二章 曲線論

§2.1 正則參數曲線

習題2.1

§2.2 曲線的弧長

習題2.2

§2.3 曲線的曲率和Frenet標架.

習題2.3

§2.4 曲線的撓率和Frenet公式

習題2.4

§2.5 曲線論基本定理.

習題2.5

§2.6 曲線參數方程在一點的標準展開

習題2.6

§2.7 存在對應關係的曲線偶

習題2.7

§2.8 平面曲線

習題2.8

第三章 曲面的第一基本形式

§3.1 正則參數曲面.

習題3.1

§3.2 切平面和法線

習題3.2

§3.3 第一基本形式.

習題3.3

§3.4 益面上正交參數曲線網的存在性.

習題3，4.

§3.5 保長對應和保角對應

習題3.5

§3.6 可展曲面

習題3.6

第四章 曲面的第二基本形式

§4.1第二基本形式

習題4.1

§4.2法曲率

習題4.2

§4.3 weingarten映射和主曲率.

習題4.3

§4.4主方向和主曲率的計算.

習題4.4

§4.5 Dupin標形和曲面參數方程在一點的標準展開

習題4.5

§4.6某些特殊曲面

習題4.6

第五章 曲面論基本定理

§5.1 自然標架的運動公式

習題5.1

§5.2 曲面的唯一性定理

習題5.2

§5.3 曲面論基本方程.

習題5.3

§5.4 曲面的存在性定理

習題5.4

§5.5 Gauss定理

習題5.5

第六章 測地曲率和測地線

§6.1 測地曲率和測地撓率

習題6.1

§6.2 測地線

習題6.2

§6.3 測地坐標系和法坐標系

習題6.3

§6.4 常曲率曲面

習題6.4

§6.5 曲面上切向量的平行移動

習題6.5

§6.6 Gauss.Bonnet公式

第七章 活動標架和外微分法

§7.1外形式

習題7.1

§7.2外微分式和外微分

習題7.2

§7.3 E3中的標架族

習題7.3

§7.4曲面上的正交標架場

習題7.4

§7.5曲面上的曲線

習題7.5

§7.6應用舉例

附錄

§1 關於微分方程的幾個定理.

§2 自共軛線性變換的特徵值

§3 用MATHEMATICA做的課件