正定矩陣
一種實對稱矩陣
徠正定矩陣是一種實對稱矩陣。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩陣A(或A的轉置)稱為正定矩陣。
在線性代數里，正定矩陣 (positive definite matrix) 有時會簡稱為正定陣。在雙線性代數中，正定矩陣的性質類似複數中的正實數。與正定矩陣相對應的線性運算元是對稱正定雙線性形式（復域中則對應埃爾米特正定雙線性形式）。
設M是n階方陣，如果對任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z 表示z的轉置，就稱M正定矩陣。
例如：B為n階矩陣，E為單位矩陣，a為正實數。aE+B在a充分大時，aE+B為正定矩陣。（B必須為對稱陣）
（2）狹義定義：一個n階的實對稱矩陣M是正定的的條件是當且僅當對於所有的非零實係數向量z，都有zMz> 0。其中z表示z的轉置。
設，若，對任意的，都有，則稱A為對稱正定矩陣。
設，若，對任意的，都有，則稱A為Hermite正定矩陣。
正定矩陣有以下性質：
（1）正定矩陣的行列式恆為正；
（2）實對稱矩陣A正定當且僅當A與單位矩陣合同；
（3）A是正定矩陣當且僅當A是正定矩陣；
（4）兩個正定矩陣的和是正定矩陣；
（5）正實數與正定矩陣的乘積是正定矩陣。
對於n徠階實對稱矩陣A，下列條件是等價的：
（1）A是正定矩陣；
（2）A的一切順序主子式均為正；
（3）A的一切主子式均為正；
（4）A的特徵值均為正；
（5）存在實可逆矩陣C，使；
（6）存在秩為n的m×n實矩陣B，使A=B′B；
（7）存在主對角線元素全為正的實三角矩陣R，使。
(1)n 元實二次型正定它的正慣性指數為 n；
(2) 一個實對稱矩陣 A 正定 A 與 E 合同，即可逆矩陣 C，使得；
(3) 實二次型是正定的A的順序主子式全大於零；
(4) 一個實對稱矩陣 A 正定 A 的特徵值全大於零；
(5) 一個實對稱矩陣 A 正定 A 的主子式全大於零；
(6)A ，B 是實對稱矩陣，則正定 A，B均正定；
(7)A 實對稱矩陣， A 正定正定矩陣 B，使得，（k 為任意正整數）。
根據正定矩陣的定義及性質，判別對稱矩陣A的正定性有兩種方法：
（1）求出A的所有特徵值。若A的特徵值均為正數，則A是正定的；若A的特徵值均為負數，則A為負定的。
（2）計算A的各階主子式。若A的各階主子式均大於零，則A是正定的；若A的各階主子式中，奇數階主子式為負，偶數階為正，則A為負定的。
對於具體的實對稱矩陣，常用矩陣的各階順序主子式是否大於零來判斷其正定性；對於抽象的矩陣，由給定矩陣的正定性，利用標準型，特徵值及充分必要條件來證相關矩陣的正定性。
基本信息
- 中文名
- 正定矩陣
- 外文名
- positive define matrix
- 別名
- 正定陣
- 應用學科
- 線性代數
- 適用領域
- 數學
- 釋義
- 正定二次型的矩陣
- 屬性
- 高等數學術語