安培環路定理

它的數學表達式是

按照安培環路定理，環路所包圍電流之正負應服從右手螺旋法則。

如果閉合路徑l包圍著兩個流向相反的電流I1和I2（如左圖所示），

這在下式中，

按圖中選定的閉合路徑l 的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環流為

如果閉合路徑l包圍的電流等值反向（如右圖所示），或者環路中並沒有包圍電流，則：

安培環路定理的證明(嚴格證明，大圖見參考資料的鏈接)

以長直載流導線產生的磁場為例，證明安培環路定理的正確性。

在長直載流導線的周圍作三個不同位置，且不同形狀的環路，可以證明對磁場中這三個環路，安培環路定理均成立。

在垂直於長直載流導線的平面內，以載流導線為圓心作一條半徑為r 的圓形環路l，

則在這圓周上任一點的磁感強度H的大小為

其方向與圓周相切．取環路的繞行方向為逆時針方向，取線元矢量dl，則H與dl間的夾角，H沿這一環路 l 的環流為

式中積分 是環路的周長。

於是上式可寫成為

從上式看到，H沿此圓形環路的環流 只與閉合環路所包圍的電流I 有關，而與環路的大小、形狀無關。

在垂直於長直載流導線的平面內，環繞載流直導線作一條如下圖所示的任意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。

在環路上任取一段線元dl，載流直導線在線元dl處的磁感強度B大小為

H與dl的夾角為，則H對dl的線積分為

直導線中心向線元的張角為，則有，所以有

可見，H對dl的線積分與到直導線的距離無關。

那麼B對整個環路的環流值為

上述計算再次說明H的環流值 與環路的大小、形狀無關。

在垂直於長直載流導線的平面內，在載流直導線的外側作一條如下圖所示的任

意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。

以載流直導線為圓心向環路作兩條夾角為 的射線，在環路上截取兩個線元 和。和 距直導線圓心的距離分別為 和，直導線在兩個線元處的磁感強度分別為 和。從上圖可以看出，而。利用安培環路定理的證明之二的結論可知

所以有從載流直導線中心O出發，可以作許多條射線，將環路分割成許多成對的線元，磁感強度對每對線元的標量積之和，都有上式的結果，故 即環路不包圍電流時，B的環流值為零。

安培環路定理反映了磁場的基本規律。和靜電場的環路定理 相比較，穩恆磁場中B 的環流，說明穩恆磁場的性質和靜電場不同，靜電場是保守場，穩恆磁場是非保守場。

利用安培環路定理求磁場的前提條件：如果在某個載流導體的穩恆磁場中，

可以找到一條閉合環路l，該環路上的磁感強度B大小處處相等，B的方向和環路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環路定理求磁感強度B的問題，就轉化為求環路長度，以及求環路所包圍的電流代數和的問題，即

利用安培環路定理求磁場的適用範圍：在磁場中能否找到上述的環路，取決於該磁場分佈的對稱性，而磁場分佈的對稱性又來源於電流分佈的對稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場，才能夠利用安培環路定理求解。

1.電流的分佈具有無限長軸對稱性

2.電流的分佈具有無限大面對稱性

3.各種圓環形均勻密繞螺繞環

利用安培環路定理求磁場的基本步驟

1.首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；

2.根據磁場的對稱性和特徵，選擇適當形狀的環路；

3.利用公式（1）求磁感強度。

長直載流螺線管內的磁場

簡介

用磁場疊加原理作對稱性分析：可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個共軸

的載流圓環構成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發磁場的疊加結果。在長直載流螺線管的中部任選一點P，在P點兩側對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分佈可知，二者磁場疊加的結果，磁感強度B的方向與螺線管的軸線方向平行。

由於長直螺線管可以看成無限長，因此在P點兩側可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點的磁場迭加結果與上圖相似。由於P點是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內各點磁場的方向均沿軸線方向。磁場分佈如下圖所示。

從上圖可以看出，在管內的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，並可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側，磁場很微弱，可忽略不計，即H=0．

利用安培環路定理可以解得 螺線管內的磁感強度為

具體解的過程

根據長直載流螺線管中段的磁場分佈特徵，可以選擇如下圖所示的矩形環路及繞行方向。

則環路ab段的dl方向與磁場B的方向一致，即；環路bc段和da段的dl方向與磁場B的方向垂直，即B·dl =0；環路cd段上的。於是，沿此閉合路徑l，磁感強度B的環流為:

因為ab段的磁場是均勻的，可以從積分號中提出，則上式成為:

設螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為nI，根據右手螺旋法則，其方向是正的。按安培環路定理，有:

注意對於繞得不緊的載流螺線管，其磁場的分佈就不是如此。

對於繞得不緊的均勻載流螺線管，由下圖可以看到，在靠近導線處的磁場和一條長直載流導線附近的磁場很相似，磁感線近似為圍繞導線的一些同心圓。管內、外的磁場是不均勻的，僅在螺線管的軸線附近，磁感強度B的方向近乎與軸線平行。

均勻密繞螺繞環的磁場

簡介

對於如圖所示的均勻密繞螺繞環，由於整個電流的分佈具有中心軸對稱性，因而磁場的分佈也應具有軸對稱性，因此，利用安培環路定理可以解得均勻密繞螺繞環內部的磁場分佈為

具體解的過程

將通有電流I 的矩形螺繞環沿直徑切開，其剖面圖如下所示。

在環內作一個半徑為r 的環路，繞行方向如圖所示。環路上各點的磁感強度大小相等，方向由右手螺旋法可知：與環路繞行方向一致。磁感強度B沿此環路的環流為

環路內包圍電流的代數和為。根據安培環路定理，有:

對均勻密繞螺繞環，環上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中於管內，在環的外部空間，磁感強度處處為零，即B =0。

如果將長直載流螺線管對接起來，就形成了圓形截面的均勻密繞細螺繞環，由安培環路定理同樣可以解得其內部的磁場和長直載流螺線管內部的磁場相同，仍為。

無限大均勻載流平面的磁場

簡介

電流的分佈具有無限大面對稱性的載流導體，包括無限大均勻載流平面和無限長的大均勻載流平板。

對無限大的載流平面產生的磁場，同樣可以進行對稱性分析，

如上右圖所示，可以將無限大載流平面的磁場看成是由無窮多個平行的長直載流導線的磁場疊加而成。每一對對稱的直導線在P點的磁場疊加的結果是：垂直於磁場的分量都相互抵消，只剩下平行於磁場的分量，故載流平面產生的磁場，其方向與平面平行，與平面電流成右手螺旋方向。

利用安培環路定理解得磁場的分佈。如果無限大載流平面上的電流密度是j，那麼它在周圍空間產生的磁場是一個均勻磁場，

其表達式是

具體解的過程

根據無限大載流平面磁場的分佈，可以選擇如圖所示的矩形環路及繞行方向。

環路上ab 段和cd 段上的 方向與磁場B 的方向一致，即；

環路bc段和da 段的 方向與磁場B的方向垂直，即。

於是，沿此閉合路徑l，磁感強度B 的環流為：

環路所包圍的電流為，於是根據安培環路定理有：

原版安培定律只適用於靜磁學。在電動力學里，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程，；

其中， 是B場， 是磁常數， 是總電流。

取決於這方程，則會得到 。

應用一個矢量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，

這意味著電流密度的散度等於零：

 。

在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。

一個正在充電的電容器，左邊的圓形金屬板，被一個假想的封封閉在圓柱面 包圍。這圓柱表面的右邊表面 處於電容器的兩塊圓形金屬板之間，左邊表面 處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面 ，而有電流 I通過表面 。

舉個經典例子，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 邊緣為閉合迴路 。應用安培定律，

 。

在這裡， 是通過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路 。所以，這任意曲面可以是表面 ，而 是I；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 ，而由於通過這任意曲面的電流是 0， 是0。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學里，是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題，安培定律必須加以修改延伸。 應用流體力學的方法，麥克斯韋摹想磁場為電介質渦旋（vortex）大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，麥克斯韋將位移電流項目加入了安培定律。