裴蜀定理

法國艾蒂安·裴蜀提出的定理

裴蜀定理說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d,關於未知數x和y的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式)。

簡介


裴蜀(貝祖,é' )艾蒂·裴蜀,整、約,未線程(稱裴蜀式):若,整,且,那麼對於任意的整數都一定是d的倍數,特別地,一定存在整數x,y,使成立。
推論:,互質的充要條件是存在整數x,y使.

證明


證:
設則。由整除的性質,有。設s為最小正值,首先有,
令,,可見也為的線性組合。由於為線性組合的最小正值,可知。則,同理,則,因此可得,命題得證。
證法二:
⑴若,則.這時定理顯然成立。
⑵若a,b不等於0.
記,對,兩邊同時除以d,可得,其中。
轉證。由帶余除法:
.....
故,由⑦和⑥推出
再結合⑤推出
再結合④推出
.....
再結合③推出
再結合②推出
再結合①推出
證畢。

n個整數間


設為n個整數,d是它們的最大公約數,那麼存在整數使得。
特別來說,如果互質(不是兩兩互質),那麼存在整數使得。證法類似兩個數的情況。

任意主理想環


裴蜀可以推廣到任意的主理想環上。設環A是主理想環,a和b為環中元素,d是它們的一個最大公約元,那麼存在環中元素x和y使得:
這是因為在主理想環中,a和b的最大公約元被定義為理想的生成元。

定理


數論中,裴蜀定理是一個關於最大公約數(或最大公約式)的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀,說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d,關於未知數x和y的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式):
有解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解,每組解x、y都稱為裴蜀數,可用輾轉相除法求得。
例如,12和42的最大公因子是6,則方程有解。事實上有
特別來說,方程有解當且僅當整數a和b互素。
裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義:d其實就是最小的可以寫成形式的正整數。這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對於多項式整環也有相應的裴蜀定理。

歷史


歷史上首先證明關於整數的裴蜀定理的並不是裴蜀,而是17世紀初的法國數學家克勞德-加斯帕·巴歇·德·梅齊里亞克(Claude-GaspardBachetdeMéziriac)。他在於1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》(Problèmesplaisansetdélectablesquisefontparlesnombres)第二版中給出了問題的描述和證明[1]。
然而,裴蜀推廣了梅齊里亞克的結論,特別是探討了多項式中的裴蜀等式,並給出了相應的定理和證明[2]。

整數中


對任意兩個整數a、b設d是它們的最大公約數。那麼關於未知數x和y的線性丟番圖方程(稱為裴蜀等式):
有整數解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。

參見


理想(環論)
歐幾里德整環
歐幾里德引理
主理想環
整除

參考來源


^原版的網上版本(法文)
^證明的網上版本(法文)
閔嗣鶴、嚴士健,初等數論,高等教育出版社,2003。
唐忠明,抽象代數基礎,高等教育出版社,2006。
Algebraiccurves,2008版,Chapter5.3。

推廣


以上定理可推廣到n個,
如1stIMO1959第1題:證明對任意自然數n,為既約分數。證明:很容易看出,由裴蜀定理,互質,故為既約分數。Q.E.D.
另如:可表示全部整數。因為3,4,5互質,所以可以等於1,則必定可以等於其他任意整數。