裴蜀定理

裴蜀（貝祖，é' ）艾蒂·裴蜀，整、約，未線程（稱裴蜀式）：若,整，且，那麼對於任意的整數都一定是d的倍數，特別地，一定存在整數x,y，使成立。

推論：,互質的充要條件是存在整數x,y使.

證：

設則。由整除的性質，有。設s為最小正值，首先有,

令，,可見也為的線性組合。由於為線性組合的最小正值,可知。則,同理,則，因此可得，命題得證。

證法二：

⑴若，則.這時定理顯然成立。

⑵若a,b不等於0.

記,對，兩邊同時除以d，可得，其中。

轉證。由帶余除法：

①

②

③

.....

④

⑤

⑥

⑦

故，由⑦和⑥推出

再結合⑤推出

再結合④推出

.....

再結合③推出

再結合②推出

再結合①推出

證畢。

設為n個整數，d是它們的最大公約數，那麼存在整數使得。

特別來說，如果互質（不是兩兩互質），那麼存在整數使得。證法類似兩個數的情況。

裴蜀可以推廣到任意的主理想環上。設環A是主理想環，a和b為環中元素，d是它們的一個最大公約元，那麼存在環中元素x和y使得：

這是因為在主理想環中，a和b的最大公約元被定義為理想的生成元。

在數論中，裴蜀定理是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，說明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

有解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用輾轉相除法求得。

例如，12和42的最大公因子是6，則方程有解。事實上有

特別來說，方程有解當且僅當整數a和b互素。

裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義：d其實就是最小的可以寫成形式的正整數。這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對於多項式整環也有相應的裴蜀定理。

歷史上首先證明關於整數的裴蜀定理的並不是裴蜀，而是17世紀初的法國數學家克勞德-加斯帕·巴歇·德·梅齊里亞克（Claude-GaspardBachetdeMéziriac）。他在於1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》（Problèmesplaisansetdélectablesquisefontparlesnombres）第二版中給出了問題的描述和證明[1]。

然而，裴蜀推廣了梅齊里亞克的結論，特別是探討了多項式中的裴蜀等式，並給出了相應的定理和證明[2]。

對任意兩個整數a、b設d是它們的最大公約數。那麼關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

有整數解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。

理想（環論）

歐幾里德整環

歐幾里德引理

主理想環

整除

^原版的網上版本（法文）

^證明的網上版本（法文）

閔嗣鶴、嚴士健，初等數論，高等教育出版社，2003。

唐忠明，抽象代數基礎，高等教育出版社，2006。

Algebraiccurves，2008版，Chapter5.3。

以上定理可推廣到n個，

如1stIMO1959第1題：證明對任意自然數n，為既約分數。證明：很容易看出，由裴蜀定理，互質，故為既約分數。Q.E.D.

另如：可表示全部整數。因為3，4，5互質，所以可以等於1，則必定可以等於其他任意整數。