完全彈性碰撞

碰撞，般指運互靠近，觸，較 短強烈互程。

碰撞運狀態顯化。

）碰撞極短

2）碰撞力很大，外力可以忽略不計，系統動量守恆

3）速度要發生有限的改變，位移在碰撞前後可以忽略不計

討論兩個球的碰撞過程。碰撞過程可分為 兩個過程。開始碰撞時，兩球相互擠壓，發生形變，由形變產生的彈性恢復力使兩球的速度發生變化，直到兩球的速度變得相等為止。這時形變得到最大。這是碰撞的第一階段，稱為 壓縮階段。此後，由於形變仍然存在，彈性恢復力繼續作用，使兩球速度改變而有相互脫離接觸的趨勢，兩球壓縮逐漸減小，直到兩球脫離接觸時為止。這是碰撞的第二階段，稱為 恢復階段。整個碰撞過程到此結束。

根據碰撞過程動能是否守恆分為

1）完全彈性碰撞：碰撞前後系統動能守恆（能完全恢復原狀）；

2）非完全彈性碰撞：碰撞前後系統動能不守恆（部分恢復原狀）；

3）完全非彈性碰撞：碰撞后系統以相同的速度運動（完全不能恢復原狀）。

一。完全彈性碰撞：能量守恆，動量守恆。

若兩質量為的物體，以初速度為發生碰撞，設碰撞后的速度各為。

則根據：

易證得：

二非彈性碰撞：必須滿足三個約束：1）動量約束：即碰撞前後動量守恆

2）能量約束：即碰撞前後系統能量不增加

3）運動約束：即碰撞前若A物體向右碰撞B物體，那麼碰撞后A物體向右

的速度不可超越B物體。

完全彈性碰撞妙趣橫生、耐人尋味，是很特殊的一類碰撞。現擬從七個方面入手，通過一些經典的實例和身邊的現象，仔細“品味”完全彈性碰撞，以期激發學生學習物理的興趣。

如果主碰球的質量為，被碰球的質量為，根據動量守恆和機械能守恆：

解得。

【這個結論再沒有其它任何條件，適用範圍最廣。】

（1）結論推導：若，則，。（交換速度） （2）典型示例：如圖1所示，在光滑的水平面上有一輛長為的小車A，在A上有一木塊B（大小不計），A與B的質量相等，B與A的動摩擦因數為。開始時A是靜止的，B位於A的正中以初速度向右運動，假設B與A的前後兩壁碰撞是完全彈性的，求B與A的前後兩個牆壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在摩擦力的作用下減速，A在摩擦力的作用下加速。地面是光滑的，系統動量守恆，B與A的前壁發生完全彈性碰撞，且質量相等，因此A與B交換速度。此後，B將加速，A將減速，B又與A的後壁發生完全彈性碰撞交換速度。就這樣不停地減速，間斷地交換，最終達到相等的速度，相對運動宣告結束。

，解得。

再根據系統的動能定理，，解得。

在滑動摩擦力中，是相對路程，所以最多能相碰次。

（3）現象鏈接：如圖2所示，質量相等的兩個剛性小球，擺角不相等，同時由靜止自由釋放，各自將會在自己的半面振動，但是角度不停地周期性變化，對於左面的小球角度的變化是：，右面的小球角度的變化是：。妙趣橫生。

（1）結論推導：若，且，則，。（傳遞速度）

（2）一題多變：在圖1中，如果B與A之間光滑，B與地面之間的動摩擦因數為，其它條件不變，求B與A的前後兩個牆壁最多能相碰多少次？

解析：先是B在A上無摩擦的滑動，與A的前壁發生短暫的完全彈性碰撞，可以看作動量守恆，由於A與B質量相等，所以它們傳遞速度，B便停下來，A在此速度的基礎上開始減速，接著B與A的後壁又發生完全彈性碰撞傳遞速度，B又勻速運動，A又停止。就這樣二者交換，走走停停，最終系統都停下來。

根據系統的動能定理：，解得。

則B與A的前後兩個牆壁最多能相碰次。

點評：雖然情景相似，但略作變化，結果就大相徑庭。

（3）現象鏈接：

①（英國皇家學會的一個很著名的實驗）它是在天花板上懸掛好多相等擺長的雙線擺，當第一個小球擺下以後，這個速度一直就會傳遞到最後一個小球，最後一個小球也就擺到原來的高度，這樣一直往複運動下去，中間的雙線擺不運動，起到傳遞速度的作用。如圖3所示。

②（桌球）這在桌球運動中是經常見到的現象。

（4）經典回顧：（93年全國高考題）如圖4所示，A、B是位於水平桌面上的兩個質量相等的小木塊，離牆壁的距離分別為和，與桌面之間的動摩擦因數分別為和，僅給A以某一初速度，使之從桌面的右端向左運動，假定A、B之間，B與牆壁之間的碰撞時間極短，且碰撞中總動能無損失，若要使木塊A最後不從桌面上掉下來，則A的初速度最大不能超過多少？

解析：物理情景是這樣的，三次碰撞均為完全彈性碰撞：A碰B（前赴後繼），B碰牆（蚍蜉撼樹），B碰A。三段減速運動：A至B，B往返至A，A減速恰至桌面邊緣。

根據質點組的動能定理，

，

解得，。

點評：本題也可以分段列式解答。

（1）結論推導：若，且，則，，。

（2）典型示例：（驗證動量守恆定律的實驗）為了避免入射小球被反向彈回，入射小球的質量必須大於被碰小球的質量，原因就在於此。如圖5所示。

（3）現象鏈接：一個大人跑步時一不小心碰到一個小孩的身上，小孩很容易被碰倒，就是這個道理。

（4）習題精練：如圖6所示，在光滑水平面上靜止著質量為的物體B，B的一端固連著一根輕質彈簧，質量為的物體A，以的速度沖向B並與之發生正碰，求當彈簧重新回復原長時兩物體的速度各為幾何？

解析：彈簧被壓縮到回復原長的過程，是彈性勢能儲存並完全釋放的過程，動能守恆，發生了完全彈性碰撞，，“勇往直前”，把數據代入篇首的結論，解得：

點評：這個答案可以用第一點“兩和相等”的結論驗證，。

（1）結論推導：若，且，則，。

（2）典型示例：（粒子散射實驗）在這個實驗中，首先得排除粒子大角度散射不是電子造成的，課本上為了說明這一點，用了這樣一個比喻：粒子遇到電子就像高速飛行著的子彈遇到一粒塵埃一樣。這個現象可以用以上結論很好地解釋了。

（3）現象鏈接：鉛球碰撞乒乓球就是這種現象。

（4）習題精練：見第七點“蚍蜉撼樹”。

（1）結論推導：若，且，則，。

（2）典型示例：有光滑圓弧軌道的小車質量為，靜止在光滑水平地面上，圓弧下端水平，有一質量為的小球以水平初速度滾上小車，如圖7所示。求小球又滾下和小車分離時二者的速度？

解析：由於滿足動量守恆和動能守恆，所以小球在光滑圓弧上的運動，可以看作是完全彈性碰撞，所以小球的分離可以看作是反向彈回。把數據代入篇首的結論，則

小球的速度：，

小車的速度：。

（3）現象鏈接：（籃球運動）在籃下，質量小的運動員經常被碰回，這是司空見慣的。

（4）習題精練：如圖8所示，半徑為的光滑圓形軌道固定在豎直面內。小球A、B質量分別為、（為待定係數），A球從左邊與圓心等高處由靜止開始沿軌道開始下滑，與靜止於軌道最低點的B球相碰，碰撞后A、B能達到的最大高度均為，碰撞中無機械能損失，重力加速度為。試求：（1）待定係數；（2）第一次碰撞剛剛結束時小球A、B各自的速度。

解析：（1）由於圓環內側光滑，又碰撞是完全彈性碰撞，所以系統機械能守恆，

，得。

（2）小球A滾下，在最低點的動能是：，解得；

接著與B球發生完全彈性碰撞，被反向彈回，把數據代入篇首的結論，則第一次碰撞剛剛結束時小球A的速度為：，

小球B的速度為：。

點評：

①本題也可以倒過來計算，碰撞之後A、B分別向兩側畫上圓環，機械能守恆

A．； B．。

②在反向彈回的情況下，如果，碰撞之後二者速率相等。

（1）結論推導：若，且，則，。

（2）典型示例：（乒乓球碰撞牆壁）乒乓球碰倒牆壁以後被反向彈回，它的動量發生了二倍的改變，即。如圖9所示。

（3）現象鏈接：（氣體分子碰撞器壁）氣體分子頻繁地碰撞器壁，給器壁產生一個持續的恆定的壓力。而每個分子都被反向彈回。

（4）習題精練：網球拍以速率擊中以速率飛來的網球，被擊回的網球的最大速率是多少？（以上所有的速率都是指相對於地面的速率）

解析：最大速率是發生在一條直線上的完全彈性碰撞，設球拍質量為，網球質量為，滿足。

解法一：若球拍靜止，根據以上第七點“蚍蜉撼樹”的結論，網球被反向彈回，速率不變。若網球靜止，根據以上第五點“我行我素”的結論，網球將以的速率飛出。

綜合以上兩點，被擊回的網球的最大速率為：。

解法二：若以球拍為參照系，則網球相對於球拍的速率為，碰撞后以相對速率反向彈回。

再以地面為參照系，球拍相對於地面的速率為，與網球相對於球拍離去速度同向，所以網球對地的速度是：。

解法三：球拍擊球前後速度幾乎不變，即保持不變，根據第一點“兩和相等”得，，因此。

總之，從方方面面“品味”完全彈性碰撞，對掌握其它類型的碰撞是大有裨益的。