線性獨立

線性獨立

線性獨立一般是指向量的線性獨立,指一組向量中任意一個向量都不能由其它幾個向量線性表示。

解釋


The property of a set with the coefficients of another set of having no linear cobinations wqual to zero unless all of the coefficients are equal to zero.

條目


教學
數學
論證

概念引入


例如,一個運輸企業Y有n輛汽車,那麼Y(在單位時間)的收入(記為)可表為
這是個線性函數,其係數表示各自的貢獻率,可以為0或負數,比如可表企業的定常支出等。這時則說(企業內)各車之間的關係是線性的。
特別地,所謂“線性關係”的本質就是“獨立關係”(又叫線性獨立),因為這時任何一輛車的“貢獻”大小和有無(即其係數取正負、大小及是否取0等)皆與別的車無關。 

定義


若有m+1個n維不全為零的向量 
如果其中第一個向量可以寫成
這裡為常數,則稱這m+1個向量之間存在著線性關係;又稱這m+1個向量線性相關;或是線性性表出。當然,由上式可知若這m+1個向量是線性相關的,必可寫成
這裡必不全為零。
顯然,若這m+1個向量不能夠寫成上面兩個式子的形式,或者換個說法只有當的情況下以上兩式才成立,則稱這m+1個向量是線性獨立的。

舉例說明


例如有以下三個向量
它們是線性相關的,因為A可以由B、C線性表出,即。
若將A向量除去,向量B與向量C則是線性獨立的,這是因為,k為任意常數.或者說只有這樣才能使得
成立,所以B與C是線性獨立的。 

關係


線性獨立與矩陣秩的關係
不難證明若有階矩陣
如果它的n個行(列)向量是線性獨立的,則該方陣的秩為n,反之如果其n個行向量或n個列向量是線性相關的,值其值一定小於n,綜上所述,可得定理如下:
定理1
階矩陣秩為n的充分必要條件是n個行向量或n個列向量是線性獨立的。
讓我們以矩陣 
為例,對以上定理加以驗證.由於該矩陣的三個行向量是線性相關的,故以-2乘第二行向量,以-1乘第三行向量,然後都加到第一行上去,則得到第一行全為零的矩陣
故該矩陣的秩小於n,反之,若矩陣的n個行向量或列向量是線性獨立的,則無論怎樣進行初等變換,也不可能將它變成某一行或某一列為零向量的形式,例如矩陣
就是這樣的,該矩陣滿秩,秩等於3。
定理2
設A為階矩陣,如果,則其m個行向量中有r個是線性獨立的,其他個行向量可用其線性組合表出。此外n個列向量中也有r個是線性獨立的,其它(n-r)個列向量亦可用其線性組合表出。
由此可知,A矩陣的秩的數目就是A矩陣的最大的線性獨立的行(列)向量的數目。例如
因為該矩陣的位於左上角的二階子行列式
而所有3階子行列式皆等於零,故
則其第一列和第二列是線性獨立的,第三列,第四列可以用第一列與第二列線性組合來表示,即 
由定理2直接可推斷出以下定理。 
定理3
設A為階矩陣,又已知,如果其中m個行向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為m。如果,若其中n個列向量是線性獨立的,則A矩陣有最大可能的秩,其秩為n。
如果A矩陣具有最大可能的秩,即,則稱A矩陣為最大秩矩。