伯努利不等式
分析不等式中常見的不等式
伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數學家伯努利提出。
對實數，在時，有成立；
在時，有成立。
可以看到等號成立當且僅當，或時。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
伯努利不等式的一般式為
（對於任意都有且,即所有同號且大於等於-1）當且僅當時等號成立
設,且是不小於2的整數，則。
證明：
先證明對所有正整數不等式成立。用數學歸納法：
當，上個式子成立，
設對，有：成立。
則
就是對一切的自然數，當
，有
下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式：
若或，有
若，有這個不等式可以直接通過微分進行證明，方法如下：
如果，則結論是顯然的
如果，作輔助函數,那麼,則;
下面分情況討論：
1.，則對於；對於。嚴格遞增，因此處取最大值0，故得。
2.，則對於；對於。嚴格遞減，因此處取最小值0，故得
證畢。
下述不等式從另一邊估計：對任意，都有。
我們知道，因此這個不等式是平凡的。
基本信息
- 中文名
- 伯努利不等式
- 外文名
- Bernoulli inequality
- 別名
- 貝努利不等式
- 提出者
- 伯努利（Bernoulli）
- 適用學科高
- 高等數學
- 注意
- 注意前提、等號成立條件