布爾值模型方法

布爾值模型方法

布爾值模型方法(Boolean-valued model ap-proach)集合論獨立性證明的基本方法之一自從1963年美國數學家科恩(Cohen,P.J.)利用他所創立的力迫法,證明了連續統假設相對於ZFC公理系統的獨立性以及選擇公理相對於AFC公理系統的獨立性之後,人們對於力迫法給以極大的關注,試圖利用力迫法證明集合論以及其他數學分支中的獨立性問題。然而,科恩原來的方法較為繁瑣,且方法本身有相當大的局限性.1964年至1967年之間,由以色列學者索洛韋(Solovay, R. M. )、斯科特(Scott ,D. S. )、沃朋卡(Vopen}ca, P.)等人對科恩的方法進行了較大的改進,引人了布爾值模型的概念,避免了科恩原來方法中構造兼納模型的繁瑣細節,使得模型擴充過程變得相當自然而直觀.

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正文


力迫推理也更易於操作。從科恩對連續統假設獨立性的證明過程可以看出,要想設計一個集合論模型滿足ZFC + }CH,構造一個比V小的模型是不可行的(參見“內模型法”),必須對V進行擴充,而V已經包括了所有集合,因此,從直觀上講,在ZFC系統內構造出比V還大的類模型似乎是不可能的.1965年,索洛韋提出了把對每個公式的真值指派從2值擴充到一個布爾值域的思想,隨後,斯科特將這一思想付諸實施,從而建立了一套布爾值模型理論。眾所周知,在一個確定的論域上,任何一個集合X可以用它的特徵函數來惟一刻畫,集合與其特徵函數具有一一對應關係,即對任何集合xEV,存在一個與X對應的特徵函數C=,使得二Cdom (Cs ),且當y屬於x時,C}.(.Y)-1;當y不屬於x時,C,(.Y)一0.所有x對應的特徵函數C,構成的類vcz’與V就具有某種同構關係。如果將C,,的取值從{0,1}擴充為一個布爾代數B,則所有這種擴充的特徵函數C構成的類V
在布爾值模型中,每個集合論公式滬均被賦予一個布爾值,稱為公式的布爾值,記為仁司刀(參見“布爾值模型”).若公式滬的布爾值為1,則認為滬在該布爾值模型下成立。因此要證明某命題A與ZFC相容,只須證明[A}"=1.為了將力迫機制引人到布爾值模型理論中,索洛韋提出可以把力迫關係P卜滬看做布爾值的大小關係,即定義p卜滬,當且僅當p鎮仁司“.從而,可以用力迫條件P“逼迫”仁司一1.其中有一個技術問題,即如何將力迫條件偏序集P與布爾代數B相聯繫。對任意偏序集P,設pEP,令Op=}qEP:q拓撲的基,這個序拓撲的正則開代數R. O. (P)恰好構成一個完全布爾代數。當P滿足一定條件時,P與R. O. (P)的一個稠子集之間可建立一個序同構關係,從而在同構的意義下,可把兩者等同看待,因此,可以把力迫條件P看成為完全布爾代數R. O. (P)的子集。通過適當選擇力迫條件P,使得B=R. O. (P)具有一些特定的性質,使得Via,滿足某些特定公理。如令P= 2`",以“衛”作為偏序關係,可以證明V}B'IH V}I.如果令P = 2"""`"L,且假設GCH成立,可證明Vp 2}0- }:等。應該指出,公式的布爾值的定義實質上是一種真值定義,因此它不可能在ZFC系統中被完全形式化。法國數學家貝爾(Bell , J. L.)等人於20世紀70年代中期,利用兼納超濾的方法,實現了在ZFC系統的可傳模型中定義V力迫方法證明某些獨立性問題時,由於力迫條件與布爾代數只是一種同構嵌人關係,不像科恩原來方法那樣,力迫條件與被力迫項之間具有非常直接的關係,因此,在具體選擇力迫條件時仍然有一些較繁瑣的細節.1971年,休恩菲爾德(Shoenfield , J. R.)提出,可以直接利用偏序集,而不必將其嵌人到一個完全布爾代數中實現力迫擴張,從而彌補了布爾值模型理論的不足。由於布爾值模型方法具有簡單、直觀等優點,目前仍然有大量研究者偏好於使用這種方法.
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