加法單位元

初等數學中所熟悉的加法單位元為0。如：

在自然數N和其所有的父集(整數Z、有理數Q、實數R、複數C)內，其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數.

令N是一個在加法運算下封閉的集合。N的加法單位元即為任一個能使所有在N內的元素n有下列公式的元素e：

在一個群里，加法單位元即是這個群的單位元，通常標記做0，並且是唯一的(見下面證明)。一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群，因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同，若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話，這個環則會是當然的(見下面證明)。在一個於群G上的m乘n階矩陣所組成的群Mm×n(G)里，其加法單位元標記為0，且會是個其元素都是在G內的單位元0的m乘n矩陣。例如，在一個於整數上的2階方陣M2(Z)里，其加法單位元為.

令(G,+)是一個群，且設0和0'是在G內的兩個加法單位元，則對於所有在G內的g而言，

.由上可得

故可證明 。

令R是一個環，且假設加法單位元0和乘法單位元1會相等，即。設r為於R內的任一元素，則

其表示R必須是平凡的，亦即。再依照換質位法，即可得出若R不是平凡的，則0不會等於1的結論。