裂項法

數學學科中的求和方法

裂項法，這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。通項分解（裂項）倍數的關係。通常用於代數，分數，有時候也用於整數。

目錄

1裂項法求和 2示例 3小結

裂項法求和

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

分母三個數相乘的裂項公式

（6）

（7）

（8）

示例

【例1】【分數裂項基本型】求數列的前n項和.

解：（裂項）

則（裂項求和）

【例2】【整數裂項基本型】求數列的前n項和.

解：（裂項）

則（裂項求和）

【例3】使用裂項公式將每個分式展開成兩個分數。

原式

小結

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意：餘下的項具有如下的特點

1餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2餘下的項前後的正負性是相反的。

易錯點：注意檢查裂項后式子和原式是否相等，典型錯誤如：（等式右邊應當除以2）

附：數列求和的常用方法：

公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)

1、分組法求數列的和：如

2、錯位相減法求和：如

3、裂項法求和：如

4、倒序相加法求和：如

5、求數列的最大、最小項的方法：

①

②

③研究函數f(n)的增減性如

6、在等差數列中，有關的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當時，滿足的項數m使得Sm取最大值.

(2)當時，滿足的項數m使得Sm取最小值.

7、對於的算式同樣適用。

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