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理想
數學概念
在序理論中，理想是偏序集合的一個特殊子集偏序，表示為集合(P,≤)的非空子集 I 稱為一個理想。在環論中，理想（Ideal）是一個抽象代數中的概念。理想的對偶概念，就是說通過反轉所有的 ≤ 並且交換V為A獲得的概念是濾子。在整個數學學科中，理想的概念還涉及代數數論，是理想概念的推廣，也叫分式理想。
環R的一個非空子集I，如果對於R的兩個代數運算，滿足條件：對任意a,b∈I,r∈R,有a-b∈I,ra∈I，則稱I是環R的一個左理想。類似有右理想定義。
環R的一個非空集合I，如果對於R的兩個代數運算，滿足條件：對任意a,b∈I,r∈R,有a-b∈I,ar∈I，則稱I 是環R的一個右理想。
環R的一個非空子集I，如果既是左理想又是右理想，稱I為R的雙邊理想，通常簡稱I為R的理想。
序理論中理想的最一般的定義如下：
偏序集合(P,≤)的非空子集 I 稱為一個理想，若I 滿足：
I是下閉的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
1.
I是下閉的。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
2.
I是有向的。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使 x ≤ z，y ≤ z。
理想最初只在格上定義。與上述定義等價的定義如下：格(P,≤)的非空子集I 是理想，當且僅當：
I是下閉的。
I對於有限並(上確界)運算封閉，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
1.
I是下閉的。
2.
I對於有限並(上確界)運算封閉，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。
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理想[數學概念]
理想[數學概念]
亦稱分式理想，是理想概念的推廣。設R為一整環，K為其商域（分式域），M K是R模。若存在非0的c∈R使cM={cm|m∈M} R，則稱M為分式理想。通常的理想（又稱整理想）也是分式理想。戴德金環的分式理想全體構成一個乘法阿貝爾群，由其素理想生成。
在集合論中，理想是一種特殊的集族。它與濾子相對偶。零S是一非空集，S上的理想F是由S的子集所組成的集族。它滿足下列條件：
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理想[數學概念]
1、 ，且；
2、若X∈F，且Y∈F，則X∪Y∈F；
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理想[數學概念]
理想[數學概念]
理想概念是斯通（Stone，M.H.）於1934年提出的。
