賦范空間
賦范空間
稱是上的一個范數，上定義了范數稱為賦范（線性）空間，記為，有時簡記為。 ach空間。
設
是域
（實數域或複數域）上的線性空間，函數
滿足條件：
1)對
；且
當且僅當
；
2)對
，有
（齊次性）；
3)對
，有
（三角不等式）。
稱
是
上的一個范數，
上定義了范數
稱為賦范（線性）空間，記為
，有時簡記為
。
在一個賦范空間
中，通過范數可以自然地定義一個距離，
。
事實上，由范數公理，對
，且
，當且僅當
，即
；
；
。
稱賦范空間中這個距離是由范數誘導的距離。
設
是賦范空間
中的點列，
，如果
，
稱
強（或按范）收斂於
，記為
，
或
。
如果賦范空間按強收斂是完備的，就稱它為Banach空間。
范數是一個連續函數，即當
時，
。
線性運算是連續的，即當
及
時，
；
當
及
時，
。
設
是賦范空間。如果
是完備的且級數
收斂，則級數
收斂且
。
反之，如果在一個賦范空間中，任意無窮級數
收斂必有級數
收斂，則空間是Banach空間。