密鋪

正多邊形的密鋪

正六邊形可以密鋪，因為它的每個內角都是120°，在每個拼接點處恰好能容納3個內角；正五邊形不可以密鋪，因為它的每個內角都是108度，而360°不是108的整數倍，在每個拼接點處的內角不能保證沒空隙或重疊現象；除正三角形、正四邊形和正六邊形外，其它正多邊形都不可以密鋪平面。

我們都知道，鋪地時要把地面鋪滿，地磚與瓷磚之間就能留有空隙。如果用的地磚是正方形，它的每個角都是直角，那麼4個正方形拼在一起，在公共頂點處的4個角，正好拼成一個360度的周角。六邊形的每個角都是120度， 3個正六邊形拼在一起時，在公共頂點上的3個角度數的和正好也是360度。除了正方形、長方形以外，正三角形也能把地面密鋪。因為正三角形的每個內角都是60度，6個正三角形拼在一起時，在公共頂點處的6個角的度數和正好是360度。

正因為正方形、正六邊形拼合以後，在公共頂點上幾個角度數的和正好是360度，這就保證了能把地面密鋪，而且還比較美觀。

因為只有正三角形、正方形、正六邊形的內角的整數倍為360°，因此正多邊形中僅此三者可以密鋪。

圓形不能密鋪，但正三角形和等腰梯形、直角梯形能密鋪

可單獨密鋪的圖形

1、任意三角形、任意凸四邊形都可以密鋪。

2、正三角形、正四邊形、正六邊形可以單獨用於平移密鋪。

3、三對對應邊平行的六邊形可以單獨密鋪。

4、目前僅發現十五類五邊形能密鋪。

五邊形密鋪

如圖，這是五邊形密鋪的結構圖，近期發現了新的可密鋪五邊形，即第十六種可密鋪五邊形。

周期性密鋪與非周期性密鋪

周期性密鋪

我們先從三角形（非退化）說起，

1.任何三角形都可以密鋪整個平面。

證明：我們把2個三角形拼成一個平行四邊形，然後將平行四邊形上下疊放，從而密鋪整個平面。

2.任何凸四邊形（包括正方形，矩形）都可以密鋪整個平面。

證明:

我們稍微思考一下，剛才三角形的方法只能推廣到平行四邊形。注意到四邊形內角和為360，所以我們可以先把四個四邊形對應不同的角拼在一起，使其拼滿一個360度。

如上圖，不同顏色的角被集中到中央，接下來就是用四邊形按照同樣的不同四角補成360度的方式將周圍補全

3.正五邊形

密鋪條證明：首先，假設能夠密鋪平面，考慮任何一個正五邊形，以下情況不會出現：

否則在如圖邊與頂點交匯處的一部分，不能放入另一個正五邊形鋪滿。

所以如果能鋪滿，應該是邊對邊，點對點，但是我們來思考一下某一個頂點，

？號處依假設還能放入若干個正五邊形密鋪，和2類似，應該也是圍成360度角，但？處角度為

360-108-108=144度，鋪一個還有餘，兩個就放不下，導出了矛盾。

4.正六邊形

證明：顯然。

5.正n邊形中，只有正三角形，正方形，正6邊形能密鋪平面，其餘正n邊形不能做到。

非周期性密鋪

一種密鋪是“風箏與飛鏢”，如圖

細節：

對晶體結構的認識其實與幾何上的密鋪問題是分不開的。對於單一正多邊形的密鋪，只能採用正三角形、正方形、正六邊形這三種，涉及的對稱軸也只有1,2,3,4,6重軸。但是如果採用多種不同的多邊形進行密鋪，那麼就有可能出現5重或者7重及以上的對稱軸。這一問題在1961年由華裔數學家王浩提上檯面，並在1976年，由數學家彭羅斯構造出了最為經典的採用兩種不同的菱形（36°/144°，72°/108°）的密鋪圖案：

這種密鋪中沒有可以平移對稱的單元，但其仍然是非常和諧的密鋪，而且具有五重對稱軸。

但至少在70年代末，這種對於密鋪的討論仍然僅限於數學上。

直到1984年以色列化學家丹·謝赫特曼在快速冷卻鋁錳合金時發現了一種嶄新的金屬相，這一金屬相的電子衍射斑表明其具有五重對稱軸。這一研究成果之後發表在PRL，標題是“一種長程有序但是不具有平移對稱性的金屬相”。在發表之後馬上引發了化學界的爆炸式研究。1985年，日本的Ishimasa課題先後在Ni-Cr合金顆粒中發現了12重軸、在V-Ni-Si和Cr-Ni-Si合金中發現了8重軸。這些新的具有長程有序的粒子排列但又不具備平移對稱性的新的結晶被稱為“准晶體（quasicrystal）”，丹·謝赫特曼也因為這次發現而獲得了2011年諾貝爾化學獎。

學術細節：

一個n重軸n經過點O並且和紙面垂直。晶體點陣中必然存在一個經過O的直線AA' ，並且A與A' 關於O對稱。設向量OA的模為a。將向量OA繞n順時針旋轉2π/n得到向量OB，將向量OA' 繞n逆時針旋轉2π/n得到向量OB'。依據n重軸的定義，BB'肯定平行於AA'。

設：BB'的模為k·a，則：k.a = 2a·Cos（2π/n），有 k = 2Cos（2π/n），其中Cos（2π/n）的絕對值小於1，所以k的絕對值小於2。根據平移對稱性的定義，k必須是整數，所以k只能是-2,-1,0,1,2。

1.當k=-2時，Cos（2π/n）= -1，2π/n=180°，n=2

2.當k=-1時，Cos（2π/n）= -1/2，2π/n=120°，n=3

3.當k=-0時，Cos（2π/n）= 0，2π/n=90°，n=4

4.當k=1時，Cos（2π/n）= 1/2，2π/n=60°，n=6

5.當k=2時，Cos（2π/n）= 1，2π/n=360°，n=1

所以晶體中只存在1,2,3,4,6重軸。

可以參考： Crystallographic restriction theorem

四邊形的每個內角在每個拼接點處只應出現一次，且相等的邊互相重合。如果在密鋪時不太方便，可以採取標號法。