模同態

即對任意，則稱f是模同態，也稱A同態。常記為.任意兩個模M，N之間總存在模同態，例如，設通常稱此同態為零同態。若N是M的子模，映射是到的模同態，則稱π為自然同態。模M，N之間的模同態集是一個加群，特別地，當時，記：

它是一個環，稱為模M的自同態環。A是的子環。

模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M.給定集合A與交換群M，若定義了的乘積，並且這個積滿足條件：

1.

則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應確定的映射，稱為A作用到M上的運算。任意可誘導出M的自同態，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.

3.

即映射為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為。類似地，有右A模M，記為.若A有單位元1，且又滿足條件

4.

則稱M為酉模或幺模，以下設A模都是酉模。

模論是抽象代數學的重要組成部分之一，主要研究環上的模。模的概念本質上是域上向量空間的直接推廣。早在19世紀，狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)就曾經考慮過多項式環上的模，20世紀20年代，諾特(Noether，E.)曾一再提出過模的重要作用。交換環上的模在代數幾何中有重要作用，非交換環特別是群環上的模就是群的線性表示，域上的模就是向量空間。到了20世紀40年代，由於環論的需要和同調代數的興起，模論得到了進一步發展。近30年來，已成為同調代數、群論、環論、代數K理論、範疇論等分支學科研究中不可缺少的工具，並在其他數學分支，如代數幾何、拓撲學、泛函分析甚至微分方程等領域裡得到了較廣泛的應用。現代模論已成為內容豐富、文獻浩繁的代數學的一個獨立分支。

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶，有：

設E與F為兩個幺半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是幺半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素. (在群的情況下，后一個條件是自然滿足的，但是從加法幺半群N到乘法幺半群N的映射是群胚的同態，而並不因此就是幺半群的同態)。

設G為乘法群，而a為G的元素。由關係所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。

設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶有：

並且f將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法幺半群)的同態。

例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

同態的概念能用抽象的方式加以推廣。

自然同態亦稱標準同態或典範同態。群到其商群上的一種特殊同態。若N是群G的一個正規子群，則存在G到商群上的一個映射。這個映射是G到的滿同態，稱為自然同態，其中：