斯托克斯公式

設為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側符合右手規則，函數在曲面（連同邊界）上具有一階連續偏導數，則有旋度定理可以用來計算穿過具有邊界的曲面，例如，下圖中，任何右邊的曲面；旋度定理不可以用來計算穿過閉曲面的通量，例如，任何左邊的曲面。在這圖內，曲面以藍色顯示，邊界以紅色顯示。

 是 的外微分,只用流形的結構定義。這個公式被稱為一般的斯托克斯公式（generalizedStokes'formula），它被認為是微積分基本定理、格林公式、高－奧公式、 上的斯托克斯公式的推廣；後者實際上是前者的簡單推論。

該  嵌某義 的更大的流形中的子流形的情形。

定理可以簡單的推廣到分段光滑的子流形的線性組合上。斯托克斯定理表明相差一個恰當形式閉合閉形式在相差一個邊界的鏈上的積分相同。這就是同調群和德拉姆上同調可以配對的基礎。

證明如圖