格林公式

一元微積分學中最基本的公式—牛頓,萊布尼茲公式

表明：函數在區間上的定積分可通過原函數在這個區間的兩個端點處的值來表示.

無獨有偶，在平面區域上的二重積分也可以通過沿區域的邊界曲線上的曲線積分來表示，這便是我們要介紹的格林公式.

1,單連通區域的概念

設為平面區域，如果內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於，則稱為平面單連通區域；否則稱為復連通區域.

通俗地講，單連通區域是不含"洞"(包括"點洞")與"裂縫"的區域.

2,區域的邊界曲線的正向規定

設是平面區域的邊界曲線，規定的正向為：當觀察者沿的這個方向行走時，內位於他附近的那一部分總在他的左邊.

簡言之：區域的邊界曲線之正嚮應適合條件,人沿曲線走，區域在左手.

3,格林公式

【定理】設閉區域由分段光滑的曲線圍成，函數及在上具有一階連續偏導數，則有

(1)

其中是的取正向的邊界曲線.

公式(1)叫做格林(green)公式.

【證明】先證

假定區域的形狀如下(用平行於軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點)

易見，圖二所表示的區域是圖一所表示的區域的一種特殊情況，我們僅對圖一所表示的區域給予證明即可.

另一方面，據對坐標的曲線積分性質與計演演算法有

因此

再假定穿過區域內部且平行於軸的直線與的的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證

綜合有

當區域的邊界曲線與穿過內部且平行於坐標軸(軸或軸)的任何直線的交點至多是兩點時，我們有

同時成立.

將兩式合併之後即得格林公式

格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯繫，因此其應用十分地廣泛.

若取則格林公式為

故區域的面積為

【例1】求星形線所圍成的圖形面積.

解：當從變到時，點依逆時針方向描出了整個封閉曲線，故

【例2】設是任意一條分段光滑的閉曲線，證明

證明：這裡,

從而

這裡是由所圍成的區域.

二，平面曲線積分與路徑無關的條件

1,對坐標的曲線積分與路徑無關的定義

【定義一】設是一個開區域,函數，在內具有一階連續偏導數，如果對於內任意兩點，以及內從點到點的任意兩條曲線,,等式

恆成立，就稱曲線積分在內與路徑無關；否則，稱與路徑有關.

定義一還可換成下列等價的說法

若曲線積分與路徑無關,那麼

即:在區域內由所構成的閉合曲線上曲線積分為零。反過來，如果在區域內沿任意閉曲線的曲線積分為零，也可方便地導出在內的曲線積分與路徑無關.

【定義二】曲線積分在內與路徑無關是指，對於內任意一條閉曲線，恆有.

2,曲線積分與路徑無關的條件

【定理】設開區域是一個單連通域,函數，在內具有一階連續偏導數，則在內曲線積分與路徑無關的充分必要條件是等式

在內恆成立.

證明：先證充分性

在內任取一條閉曲線，因單連通，故閉曲線所圍成的區域全部在內。從而在上恆成立.

由格林公式，有

依定義二，在內曲線積分與路徑無關.

再證必要性(採用反證法)

假設在內等式不恆成立，那麼內至少存在一點，使

不妨設

由於在內連續，在內存在一個以為圓心，半徑充分小的圓域，使得在上恆有

由格林公式及二重積分性質有

這裡是的正向邊界曲線，是的面積.

這與內任意閉曲線上的曲線積分為零的條件相矛盾。故在內等式

應恆成立.

註明：定理所需要的兩個條件

缺一不可.

【反例】討論,其中是包圍原點的一條分段光滑曲線且正向是逆時針的.

這裡

除去原點外，在所圍成的區域內存在，連續，且.在內，作一半徑充分小的圓周在由與所圍成的復連通域內使用格林公式有三，二元函數的全微分求積若曲線積分在開區域內與路徑無關，那它僅與曲線的起點與終點的坐標有關。假設曲線的起點為，終點為，可用記號或來表示，而不需要明確地寫出積分路徑.顯然，這一積分形式與定積分非常相似,事實上，我們有下列重要定理【定理一】設是一個單連通的開區域，函數，在內具有一階連續偏導數，且,則是的單值函數，這裡為內一固定點，且亦即【證明】依條件知，對內任意一條以點為起點，點為終點的曲線，曲線積分與路徑無關，僅與的起點和終點的坐標有關，亦即,確為點的單值函數.證明過程由於可以認為是從點沿內任何路徑到點的曲線積分，取如下路徑，有類似地可證明因此【定理二】設是單連通的開區域,,在上具有一階連續偏導數，則在內為某一函數全微分的充要條件是在內恆成立.【證明】顯然，充分性就是定理一下面證明必要性若存在使得,則由於,在內連續,則二階混合偏導數適合等式從而【定理三】設是一個單連通的開區域,函數，在內具有一階連續偏導數,若存在二元函數使得則其中，是內地任意兩點.【證明】由定理1知，函數適合於是或因此(是某一常數)即而這是因為由點沿任意內的路徑回到點構成一條封閉曲線，故因此【確定的全微分函數的方法】因為，而右端的曲線積分與路徑無關，為了計算簡便，可取平行於坐標軸的直線段所連成的折線作為積分路徑(當然折線應完全屬於單連通區域).

相關概念

設D為平面區域，如果D內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於D，則D稱為平面單連通區域。直觀地說，單連通區域是沒有空間的區域，否則稱為復連通區域。

當xOy平面上的曲線起點與終點重合時，則稱曲線為閉曲線。設平面的閉曲線L圍成平面區域D，並規定當一個人沿閉曲線L環行時，區域D總是位於此人的左側，稱此人行走方向為曲線L關於區域D的正方向，反之為負方向。

定理

設閉區域由分段光滑的曲線圍成，函數及在上具有一階連續偏導數，則有

（1）

其中是的取正向的邊界曲線。

公式⑴叫做格林(green）公式。

先證

假定區域的形狀如下（用平行於軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）

易見，圖1(二)所表示的區域是圖1（一）所表示的區域的一種特殊情況，我們僅對圖1（一）所表示的區域給予證明即可.

另一方面，據對坐標的曲線積分性質與計演演算法有

因此

假設將AB曲線上移，或EC曲線下移，使AE重合或者BC重合，便可以認為是一條常規的曲線。也可以認為某條常規曲線是將AE或BC長度設為零形成的。再假定穿過區域D內部且平行於軸的直線與D的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證將兩式合併之後即得格林公式

在平面閉區域D上的二重積分，可通過沿閉區域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達；或者說，封閉路徑的曲線積分可以用二重積分來計算。如區域D不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於坐標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立.

注意：對於復連通區域D，格林公式的右端應包括沿區域D的全部邊界的曲線積分，且邊界方向對區域D來說都是正向。

格林公式溝通了二重積分與對坐標的曲線積分之間的聯繫，因此其應用十分地廣泛.