大基數公理

大基數公理(large cardinal axioms)是關於大基數存在的一類新加公理。設有關於基數α的一條性質P(α)，它是可以用ZFC系統的語言形式描述的，儘管人們根據直覺相信，有很大的α使為真，但卻不能在ZFC系統內證明這一命題。人們若將∃作為公理加入到ZFC系統之中，就稱之為一條大基數公理，滿足的α稱為大基數。大基數的種類很多。一般地，P(α)都是ω(其基數為)的某個性質向不可數基數的推廣，因而，可以說大基數公理是無窮公理的自然延伸，是人類對無窮世界的認識進一步深化的產物。例如，不可達基數是將ω的“集論運算的不可到達性”推廣到不可數基數而得到的大基數。弱緊基數則是將ω所滿足的分划關係 推廣至不可數基數而得到的。從這個角度看，大基數公理為人們所樂於接受。增加了大基數公理之後，人們可以對集合論中某些懸而未決的問題做出一定程度的回答。例如，若存在強不可達基數κ，則ZFC相容；若存在拉姆齊基數，則V≠L，即可構造公理不真；若存在強緊基數κ，則對任何集合X成立，又對於任何大於κ的奇異強極限基數λ， ，這對廣義連續統假設做出了部分回答。

大基數是集合論用語。滿足某些特殊性質的不可數基數。如“不可達基數”、“可測基數”、“超緊基數”等都是大基數。其中，不可達基數是最小的大基數。在公理集合論ZFC系統中，既不能證明大基數存在，也不能否認大基數存在。

大基數的研究由來已久。例如，早在1911年，就開始了對今天稱為馬赫羅(Mahlo，P.)基數的一類基數的研究；1930年後，就提出了不可達基數和可測基數的概念。但在20世紀60年代之前，這種研究是零星的、分散的。直到20世紀60年代，人們才將大基數公理作為集合論的附加公理來加以研究。近年來，含大基數的內模型成為集合論研究的熱點。人們更習慣於用從全域V到某傳遞類M的非平凡的基本嵌入(elementary embedding)j：V→M來描述大基數公理。設κ為j的臨界點，即最小的滿足的序數，記為。此時，V和M越相似，所引入的大基數公理越強。例如，如果，則稱κ為λ超緊基數；如果對任意為，κ為λ超緊基數，則稱k為超緊基數；如果，則稱k為超強基數；如果對於任意的，存在使得且，其中M′是傳遞的，則稱κ為謝拉赫基數；如果對於任意的，存在，使得f在δ中封閉且存在滿足且，其中M′是傳遞的，則稱κ為鄔丁基數。如果，則稱κ為λ強基數。λ超緊基數是以色列學者索洛韋(Solovay，R.M.)引入的。λ強基數和超強基數這兩個概念是從米雪爾(Mitchell，W.)的工作中提取出的。謝拉赫基數是分別根據他們發現的大基數性質而命名的。可以證明：

1.若κ是2超緊基數，則存在κ個小於k的超強基數。

2.若κ是超強基數，則κ是謝拉赫基數並且存在κ個小於κ的謝拉赫基數。

3.若κ是謝拉赫基數，則κ是鄔丁基數並且存在κ個小於κ的鄔丁基數。

4.若κ是鄔丁基數，則κ是不可達基數並且存在κ個小於κ的基數δ滿足對於任意的，δ是λ強基數。

作為公理集合論研究的三大主流之一，大基數公理的研究與可構造性及力迫法這兩者的研究有很大的不同：如果說后兩者對集合論中的相容性與獨立性進行精細的探討與刻畫的話，那麼前者則是充分使用各種數學工具，開拓越來越豐富的集合論研究對象。

用公理及邏輯的方法研究無限集與超窮數的數學理論，是數理邏輯的主要分支之一。

康托爾於19世紀70～80年代的一系列工作開創了對無窮集的研究。他同時還提出了著名的連續假設。1900年前後，人們在康托爾集論中發現了一系列悖論。消除悖論的途經之一是公理方法。策墨羅於1908年發表了集論的第1個公理系，后經佛蘭克爾等人的擴充與完善，成為周知的ZF公理系。另一種公理系是由哥德爾與貝爾奈斯等人提出的，稱為GB公理系，其中另引入了類的概念。選擇公理(AC)早已被人隱蔽地應用了，但首先是由策墨羅明確提出；由於其不直觀性，能否作為集論公理曾有爭議。多年來，AC與CH是公理集論的中心問題。1938年哥德爾引入可構造集概念，給出AC，CH與ZF的一個模型;1963年柯亨創造力迫法證明了AC與CH關於ZF獨立性。其後的發展是擴充ZFC (主要是引入大基數公理)來討論GCH及其他問題。集論發展的另一側面是強調它與分析、一般拓撲與測度論等分支的聯繫，這是描敘性集論的主題。其中蘇斯林假設(S.H.)的獨立性及有關問題的研究，是公理集論的第2個中心問題。

ZF系的形式語言是只有一個二元關係符號∈的帶號的一階語言。ZF由下面8個公理組成。(1)外延公理。若X與Y有相同的元素，則。(2)無窮公理。存在無限集。下面5個公理是合法的基本造集規則。(3)配對公理。對集a與b，有一個集合恰好只含有a、b二個元素，記為。(4)並集公理。對任集X，其並∪X也是集合。(5)冪集公理。對任集X，其所有子集全體仍是集合。(6)分離公理。對任集X及性質P，：x具有性質P}是集合。(7)替換公理。F是一函數(在ZF系中是一導出概念)，對任集X，：是集合。在上述公理基礎上，樸素集論中的一系列基本運算與性質均可導出。(8) 正規公理。每個非空集含有一個∈-極小元(非空集關於∈是一偏序集)。應用正規公理，我們可排除羅素悖論且建立起全體集合的累積分層體系。利用分離公理取代概括原理(指每一性質確定一個集合)，便可避免關於最大序數與基數的悖論。選擇公理AC：對任非空集S，存在函數f滿足，對任，若則。稱f為S的選擇函數。ZF添上AC簡記為ZFC。AC有許多不同形式的等價變形。例如，代數與分析中常用的曹恩引理，良序原理，拓撲中關於緊空間直積的吉洪諾夫(Tychonoff)定理等等。另外，無窮數學中的許多重要定理的證明都嶺不開AC(如戴德金無限與常規無限概念的等價性，線性空間基的存遮性，泛函中的哈恩-巴拿赫定理，L-不可測集的存在性等)。但由AC(及ZF)也可推出一些怪異的結論，如分球怪論。現已知道，AC與都分別與ZF相容，這情形類似於平面幾何中的平行公設。CH與SH是另2個著名的獨立性命題。實數序有一個特徵：稠密完備的線性序，無界且有可數稠密子集。蘇斯林問：能否把最後一條件即可分性，換成較弱的“每一非交的開區間族可數”?他猜想這不成立，此即SH。