下鞅
下鞅
Xn，n≥0與Yn，n≥0是隨機過程，如果滿足下列條件：
(1) E(X)<+∞，x=max(x，0)；
(2) E(Xn+1|Y0，Y1，...，Yn)≥Xn；
(3) Xn是 Y0，Y1，...，Yn的函數。
則稱Xn，n≥0關於Yn，n≥0是一個下鞅。
鞅可以用於研究公平賭博(公平博弈)，然而，現實生活中的博弈很多時候都是非公平的，此時，就需要藉助上、下鞅的理論，上、下鞅可以解決非公平博弈問題。
下鞅
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定義1 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：
下鞅
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下鞅
(3) 是 的函數。
下鞅
下鞅
則稱 關於 是一個 上鞅。
下鞅
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定義2 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：
下鞅
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下鞅
下鞅
(3) 是 的函數。
下鞅
下鞅
則稱 關於 是一個 下鞅。
下鞅
下鞅
下鞅
下鞅
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定理 如果，關於 是上(下)鞅，則 關於 是上(下)鞅。
下鞅
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證明：若，關於 是上鞅，則：
下鞅
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下鞅
下鞅
即 關於 是上鞅。
下鞅
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同理，可證 關於 是下鞅。
下鞅
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先介紹Jensen不等式，設 為一凸函數，即對 有
下鞅
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其推廣結果為：對
下鞅
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因此， 。
下鞅
將X換成X，然後利用下鞅的性質可得下面的定理。
下鞅
下鞅
下鞅
下鞅
下鞅
下鞅
定理1 如果 關於 是鞅，為一凸函數，且對，則 關於 是下鞅。
下鞅
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下鞅
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下鞅
推論1 如果 關於 是鞅，對，則，關於 是下鞅。
下鞅
下鞅
下鞅
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推論2 如果 關於 是鞅，對，則 關於 是下鞅。
下鞅
對任意的非負隨機變數X，利用Jensen不等式，於是有
下鞅
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下鞅
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定理 對於任意一個 關於 的下鞅，必存在過程 與，使得：
下鞅
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(1) 關於 是鞅；
下鞅
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(2) 是 的函數(n≥2)，且；
下鞅
且上述分解是唯一的。
基本信息
- 外文名
- submartingale
- 所屬學科
- 數理科學